Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48983 / 51157
↖ ↑ ↗
← S 70.534052°
E 89.071655°		 ← 203.56 m → S 70.534052°
E 89.077149°		 →
↑
203.49 m
↓
↑
203.49 m
↓
S 70.535882°
E 89.071655°		 ← 203.55 m →
41 421 m²		 S 70.535882°
E 89.077149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747428894042969 y=0.780601501464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747428894042969 × 216)
    floor (0.747428894042969 × 65536)
    floor (48983.5)     		tx = 48983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780601501464844 × 216)
    floor (0.780601501464844 × 65536)
    floor (51157.5)     		ty = 51157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48983 / 51157 ti = "16/48983/51157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48983/51157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48983 ÷ 216
    48983 ÷ 65536     		x = 0.747421264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51157 ÷ 216
    51157 ÷ 65536     		y = 0.780593872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747421264648438 × 2 - 1) × π
    0.494842529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55459365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780593872070312 × 2 - 1) × π
    -0.561187744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76302329422643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55459365} λ = 1.55459365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76302329422643))-π/2
    2×atan(0.171525507059311)-π/2
    2×0.169872440685548-π/2
    0.339744881371097-1.57079632675     		φ = -1.23105145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55459365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.071655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23105145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.534052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48983 KachelY 51157 1.55459365 -1.23105145 89.071655 -70.534052
    Oben rechts KachelX + 1 48984 KachelY 51157 1.55468953 -1.23105145 89.077149 -70.534052
    Unten links KachelX 48983 KachelY + 1 51158 1.55459365 -1.23108339 89.071655 -70.535882
    Unten rechts KachelX + 1 48984 KachelY + 1 51158 1.55468953 -1.23108339 89.077149 -70.535882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23105145--1.23108339) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dl = 203.489739999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23105145--1.23108339) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dr = 203.489739999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55459365-1.55468953) × cos(-1.23105145) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.333246562698549 × 6371000     		do = 203.564156029659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55459365-1.55468953) × cos(-1.23108339) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.333216448228069 × 6371000     		du = 203.545760560798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23105145)-sin(-1.23108339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333246562698549-0.333216448228069)×R²
    abs(1.55468953-1.55459365)×3.01144704794587e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.01144704794587e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.01144704794587e-05×40589641000000     		ar = 41421.3455425637m²