Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48981 / 50553
↖ ↑ ↗
← S 69.397716°
E 89.060669°		 ← 214.92 m → S 69.397716°
E 89.066162°		 →
↑
214.89 m
↓
↑
214.89 m
↓
S 69.399649°
E 89.060669°		 ← 214.90 m →
46 184 m²		 S 69.399649°
E 89.066162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747398376464844 y=0.771385192871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747398376464844 × 216)
    floor (0.747398376464844 × 65536)
    floor (48981.5)     		tx = 48981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771385192871094 × 216)
    floor (0.771385192871094 × 65536)
    floor (50553.5)     		ty = 50553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48981 / 50553 ti = "16/48981/50553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48981/50553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48981 ÷ 216
    48981 ÷ 65536     		x = 0.747390747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50553 ÷ 216
    50553 ÷ 65536     		y = 0.771377563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747390747070312 × 2 - 1) × π
    0.494781494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55440191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771377563476562 × 2 - 1) × π
    -0.542755126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7051155194854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55440191} λ = 1.55440191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7051155194854))-π/2
    2×atan(0.181751389135664)-π/2
    2×0.179788843715826-π/2
    0.359577687431652-1.57079632675     		φ = -1.21121864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55440191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.060669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21121864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.397716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48981 KachelY 50553 1.55440191 -1.21121864 89.060669 -69.397716
    Oben rechts KachelX + 1 48982 KachelY 50553 1.55449778 -1.21121864 89.066162 -69.397716
    Unten links KachelX 48981 KachelY + 1 50554 1.55440191 -1.21125237 89.060669 -69.399649
    Unten rechts KachelX + 1 48982 KachelY + 1 50554 1.55449778 -1.21125237 89.066162 -69.399649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21121864--1.21125237) × R
    3.37299999999541e-05 × 6371000     		dl = 214.893829999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21121864--1.21125237) × R
    3.37299999999541e-05 × 6371000     		dr = 214.893829999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55440191-1.55449778) × cos(-1.21121864) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351878960285805 × 6371000     		do = 214.923365462881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55440191-1.55449778) × cos(-1.21125237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351847387270581 × 6371000     		du = 214.90408105132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21121864)-sin(-1.21125237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351878960285805-0.351847387270581)×R²
    abs(1.55449778-1.55440191)×3.15730152242177e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15730152242177e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15730152242177e-05×40589641000000     		ar = 46183.633114691m²