Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48979 / 50511
↖ ↑ ↗
← S 69.316380°
E 89.049683°		 ← 215.73 m → S 69.316380°
E 89.055176°		 →
↑
215.72 m
↓
↑
215.72 m
↓
S 69.318320°
E 89.049683°		 ← 215.72 m →
46 537 m²		 S 69.318320°
E 89.055176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747367858886719 y=0.770744323730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747367858886719 × 216)
    floor (0.747367858886719 × 65536)
    floor (48979.5)     		tx = 48979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770744323730469 × 216)
    floor (0.770744323730469 × 65536)
    floor (50511.5)     		ty = 50511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48979 / 50511 ti = "16/48979/50511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48979/50511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48979 ÷ 216
    48979 ÷ 65536     		x = 0.747360229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50511 ÷ 216
    50511 ÷ 65536     		y = 0.770736694335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747360229492188 × 2 - 1) × π
    0.494720458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55421016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770736694335938 × 2 - 1) × π
    -0.541473388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70108881991731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55421016} λ = 1.55421016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70108881991731))-π/2
    2×atan(0.18248472284218)-π/2
    2×0.180498635732512-π/2
    0.360997271465024-1.57079632675     		φ = -1.20979906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55421016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.049683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20979906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.316380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48979 KachelY 50511 1.55421016 -1.20979906 89.049683 -69.316380
    Oben rechts KachelX + 1 48980 KachelY 50511 1.55430603 -1.20979906 89.055176 -69.316380
    Unten links KachelX 48979 KachelY + 1 50512 1.55421016 -1.20983292 89.049683 -69.318320
    Unten rechts KachelX + 1 48980 KachelY + 1 50512 1.55430603 -1.20983292 89.055176 -69.318320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20979906--1.20983292) × R
    3.38600000000522e-05 × 6371000     		dl = 215.722060000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20979906--1.20983292) × R
    3.38600000000522e-05 × 6371000     		dr = 215.722060000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55421016-1.55430603) × cos(-1.20979906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353207396770506 × 6371000     		do = 215.734758220958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55421016-1.55430603) × cos(-1.20983292) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353175719012746 × 6371000     		du = 215.715409833937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20979906)-sin(-1.20983292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353207396770506-0.353175719012746)×R²
    abs(1.55430603-1.55421016)×3.16777577596961e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16777577596961e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16777577596961e-05×40589641000000     		ar = 46536.6595245784m²