Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48977 / 82227
↖ ↑ ↗
← S 41.613389°
W 45.480652°		 ← 228.35 m → S 41.613389°
W 45.477905°		 →
↑
228.34 m
↓
↑
228.34 m
↓
S 41.615442°
W 45.480652°		 ← 228.34 m →
52 140 m²		 S 41.615442°
W 45.477905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373668670654297 y=0.627346038818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373668670654297 × 217)
    floor (0.373668670654297 × 131072)
    floor (48977.5)     		tx = 48977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627346038818359 × 217)
    floor (0.627346038818359 × 131072)
    floor (82227.5)     		ty = 82227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48977 / 82227 ti = "17/48977/82227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48977/82227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48977 ÷ 217
    48977 ÷ 131072     		x = 0.373664855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82227 ÷ 217
    82227 ÷ 131072     		y = 0.627342224121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373664855957031 × 2 - 1) × π
    -0.252670288085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.79378712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627342224121094 × 2 - 1) × π
    -0.254684448242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.800114791558357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79378712} λ = -0.79378712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800114791558357))-π/2
    2×atan(0.449277387905529)-π/2
    2×0.422252838842905-π/2
    0.844505677685809-1.57079632675     		φ = -0.72629065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79378712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.480652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72629065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.613389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48977 KachelY 82227 -0.79378712 -0.72629065 -45.480652 -41.613389
    Oben rechts KachelX + 1 48978 KachelY 82227 -0.79373918 -0.72629065 -45.477905 -41.613389
    Unten links KachelX 48977 KachelY + 1 82228 -0.79378712 -0.72632649 -45.480652 -41.615442
    Unten rechts KachelX + 1 48978 KachelY + 1 82228 -0.79373918 -0.72632649 -45.477905 -41.615442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72629065--0.72632649) × R
    3.58400000000092e-05 × 6371000     		dl = 228.336640000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72629065--0.72632649) × R
    3.58400000000092e-05 × 6371000     		dr = 228.336640000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79378712--0.79373918) × cos(-0.72629065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.747642923028076 × 6371000     		do = 228.349393021463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79378712--0.79373918) × cos(-0.72632649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.747619121170185 × 6371000     		du = 228.342123321404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72629065)-sin(-0.72632649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747642923028076-0.747619121170185)×R²
    abs(-0.79373918--0.79378712)×2.38018578909704e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38018578909704e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38018578909704e-05×40589641000000     		ar = 52139.7031847347m²