Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48976 / 81488
↖ ↑ ↗
← S 40.078071°
W 45.483399°		 ← 233.70 m → S 40.078071°
W 45.480652°		 →
↑
233.69 m
↓
↑
233.69 m
↓
S 40.080173°
W 45.483399°		 ← 233.69 m →
54 613 m²		 S 40.080173°
W 45.480652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373661041259766 y=0.621707916259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373661041259766 × 217)
    floor (0.373661041259766 × 131072)
    floor (48976.5)     		tx = 48976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621707916259766 × 217)
    floor (0.621707916259766 × 131072)
    floor (81488.5)     		ty = 81488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48976 / 81488 ti = "17/48976/81488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48976/81488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48976 ÷ 217
    48976 ÷ 131072     		x = 0.3736572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81488 ÷ 217
    81488 ÷ 131072     		y = 0.6217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3736572265625 × 2 - 1) × π
    -0.252685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79383506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6217041015625 × 2 - 1) × π
    -0.243408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.764689422739136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79383506} λ = -0.79383506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.764689422739136))-π/2
    2×atan(0.465478475556951)-π/2
    2×0.435651011276576-π/2
    0.871302022553153-1.57079632675     		φ = -0.69949430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79383506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.483399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69949430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.078071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48976 KachelY 81488 -0.79383506 -0.69949430 -45.483399 -40.078071
    Oben rechts KachelX + 1 48977 KachelY 81488 -0.79378712 -0.69949430 -45.480652 -40.078071
    Unten links KachelX 48976 KachelY + 1 81489 -0.79383506 -0.69953098 -45.483399 -40.080173
    Unten rechts KachelX + 1 48977 KachelY + 1 81489 -0.79378712 -0.69953098 -45.480652 -40.080173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69949430--0.69953098) × R
    3.66800000000111e-05 × 6371000     		dl = 233.688280000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69949430--0.69953098) × R
    3.66800000000111e-05 × 6371000     		dr = 233.688280000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79383506--0.79378712) × cos(-0.69949430) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.765167870357543 × 6371000     		do = 233.701963028564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79383506--0.79378712) × cos(-0.69953098) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.76514425412818 × 6371000     		du = 233.694750024235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69949430)-sin(-0.69953098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765167870357543-0.76514425412818)×R²
    abs(-0.79378712--0.79383506)×2.36162293628661e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.36162293628661e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.36162293628661e-05×40589641000000     		ar = 54612.5669816069m²