Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48976 / 50514
↖ ↑ ↗
← S 69.322200°
E 89.033203°		 ← 215.68 m → S 69.322200°
E 89.038696°		 →
↑
215.66 m
↓
↑
215.66 m
↓
S 69.324139°
E 89.033203°		 ← 215.66 m →
46 510 m²		 S 69.324139°
E 89.038696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747322082519531 y=0.770790100097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747322082519531 × 216)
    floor (0.747322082519531 × 65536)
    floor (48976.5)     		tx = 48976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770790100097656 × 216)
    floor (0.770790100097656 × 65536)
    floor (50514.5)     		ty = 50514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48976 / 50514 ti = "16/48976/50514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48976/50514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48976 ÷ 216
    48976 ÷ 65536     		x = 0.747314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50514 ÷ 216
    50514 ÷ 65536     		y = 0.770782470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747314453125 × 2 - 1) × π
    0.49462890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55392254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770782470703125 × 2 - 1) × π
    -0.54156494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70137644131503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55392254} λ = 1.55392254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70137644131503))-π/2
    2×atan(0.182432243878532)-π/2
    2×0.180447847562816-π/2
    0.360895695125632-1.57079632675     		φ = -1.20990063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55392254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.033203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20990063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.322200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48976 KachelY 50514 1.55392254 -1.20990063 89.033203 -69.322200
    Oben rechts KachelX + 1 48977 KachelY 50514 1.55401841 -1.20990063 89.038696 -69.322200
    Unten links KachelX 48976 KachelY + 1 50515 1.55392254 -1.20993448 89.033203 -69.324139
    Unten rechts KachelX + 1 48977 KachelY + 1 50515 1.55401841 -1.20993448 89.038696 -69.324139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20990063--1.20993448) × R
    3.3850000000113e-05 × 6371000     		dl = 215.65835000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20990063--1.20993448) × R
    3.3850000000113e-05 × 6371000     		dr = 215.65835000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55392254-1.55401841) × cos(-1.20990063) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353112371638325 × 6371000     		do = 215.676718032379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55392254-1.55401841) × cos(-1.20993448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353080702021975 × 6371000     		du = 215.657374618032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20990063)-sin(-1.20993448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353112371638325-0.353080702021975)×R²
    abs(1.55401841-1.55392254)×3.1669616349983e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1669616349983e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1669616349983e-05×40589641000000     		ar = 46510.399364322m²