Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48975 / 82222
↖ ↑ ↗
← S 41.603121°
W 45.486145°		 ← 228.34 m → S 41.603121°
W 45.483399°		 →
↑
228.34 m
↓
↑
228.34 m
↓
S 41.605174°
W 45.486145°		 ← 228.33 m →
52 137 m²		 S 41.605174°
W 45.483399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373653411865234 y=0.627307891845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373653411865234 × 217)
    floor (0.373653411865234 × 131072)
    floor (48975.5)     		tx = 48975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627307891845703 × 217)
    floor (0.627307891845703 × 131072)
    floor (82222.5)     		ty = 82222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48975 / 82222 ti = "17/48975/82222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48975/82222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48975 ÷ 217
    48975 ÷ 131072     		x = 0.373649597167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82222 ÷ 217
    82222 ÷ 131072     		y = 0.627304077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373649597167969 × 2 - 1) × π
    -0.252700805664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.79388299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627304077148438 × 2 - 1) × π
    -0.254608154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.799875107060257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79388299} λ = -0.79388299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799875107060257))-π/2
    2×atan(0.44938508563698)-π/2
    2×0.42234244518322-π/2
    0.84468489036644-1.57079632675     		φ = -0.72611144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79388299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.486145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72611144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.603121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48975 KachelY 82222 -0.79388299 -0.72611144 -45.486145 -41.603121
    Oben rechts KachelX + 1 48976 KachelY 82222 -0.79383506 -0.72611144 -45.483399 -41.603121
    Unten links KachelX 48975 KachelY + 1 82223 -0.79388299 -0.72614728 -45.486145 -41.605174
    Unten rechts KachelX + 1 48976 KachelY + 1 82223 -0.79383506 -0.72614728 -45.483399 -41.605174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72611144--0.72614728) × R
    3.58399999998982e-05 × 6371000     		dl = 228.336639999351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72611144--0.72614728) × R
    3.58399999998982e-05 × 6371000     		dr = 228.336639999351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79388299--0.79383506) × cos(-0.72611144) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.747761924551316 × 6371000     		do = 228.338099237307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79388299--0.79383506) × cos(-0.72614728) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.747738127495756 × 6371000     		du = 228.330832520114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72611144)-sin(-0.72614728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747761924551316-0.747738127495756)×R²
    abs(-0.79383506--0.79388299)×2.3797055559549e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.3797055559549e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.3797055559549e-05×40589641000000     		ar = 52137.1247404683m²