Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48975 / 81489
↖ ↑ ↗
← S 40.080173°
W 45.486145°		 ← 233.65 m → S 40.080173°
W 45.483399°		 →
↑
233.69 m
↓
↑
233.69 m
↓
S 40.082274°
W 45.486145°		 ← 233.64 m →
54 599 m²		 S 40.082274°
W 45.483399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373653411865234 y=0.621715545654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373653411865234 × 217)
    floor (0.373653411865234 × 131072)
    floor (48975.5)     		tx = 48975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621715545654297 × 217)
    floor (0.621715545654297 × 131072)
    floor (81489.5)     		ty = 81489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48975 / 81489 ti = "17/48975/81489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48975/81489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48975 ÷ 217
    48975 ÷ 131072     		x = 0.373649597167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81489 ÷ 217
    81489 ÷ 131072     		y = 0.621711730957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373649597167969 × 2 - 1) × π
    -0.252700805664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.79388299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621711730957031 × 2 - 1) × π
    -0.243423461914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.764737359638756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79388299} λ = -0.79388299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.764737359638756))-π/2
    2×atan(0.465456162496807)-π/2
    2×0.43563267167196-π/2
    0.871265343343921-1.57079632675     		φ = -0.69953098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79388299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.486145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69953098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.080173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48975 KachelY 81489 -0.79388299 -0.69953098 -45.486145 -40.080173
    Oben rechts KachelX + 1 48976 KachelY 81489 -0.79383506 -0.69953098 -45.483399 -40.080173
    Unten links KachelX 48975 KachelY + 1 81490 -0.79388299 -0.69956766 -45.486145 -40.082274
    Unten rechts KachelX + 1 48976 KachelY + 1 81490 -0.79383506 -0.69956766 -45.483399 -40.082274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69953098--0.69956766) × R
    3.66800000000111e-05 × 6371000     		dl = 233.688280000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69953098--0.69956766) × R
    3.66800000000111e-05 × 6371000     		dr = 233.688280000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79388299--0.79383506) × cos(-0.69953098) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.76514425412818 × 6371000     		do = 233.646002683019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79388299--0.79383506) × cos(-0.69956766) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.765120636869375 × 6371000     		du = 233.638790868927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69953098)-sin(-0.69956766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76514425412818-0.765120636869375)×R²
    abs(-0.79383506--0.79388299)×2.36172588050643e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.36172588050643e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.36172588050643e-05×40589641000000     		ar = 54599.4898437789m²