Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48973 / 82489
↖ ↑ ↗
← S 42.149151°
W 45.491638°		 ← 226.44 m → S 42.149151°
W 45.488892°		 →
↑
226.43 m
↓
↑
226.43 m
↓
S 42.151187°
W 45.491638°		 ← 226.44 m →
51 272 m²		 S 42.151187°
W 45.488892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373638153076172 y=0.629344940185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373638153076172 × 217)
    floor (0.373638153076172 × 131072)
    floor (48973.5)     		tx = 48973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629344940185547 × 217)
    floor (0.629344940185547 × 131072)
    floor (82489.5)     		ty = 82489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48973 / 82489 ti = "17/48973/82489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48973/82489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48973 ÷ 217
    48973 ÷ 131072     		x = 0.373634338378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82489 ÷ 217
    82489 ÷ 131072     		y = 0.629341125488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373634338378906 × 2 - 1) × π
    -0.252731323242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.79397887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629341125488281 × 2 - 1) × π
    -0.258682250976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.812674259258812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79397887} λ = -0.79397887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812674259258812))-π/2
    2×atan(0.443669989740814)-π/2
    2×0.417577434136677-π/2
    0.835154868273354-1.57079632675     		φ = -0.73564146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79397887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.491638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73564146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.149151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48973 KachelY 82489 -0.79397887 -0.73564146 -45.491638 -42.149151
    Oben rechts KachelX + 1 48974 KachelY 82489 -0.79393093 -0.73564146 -45.488892 -42.149151
    Unten links KachelX 48973 KachelY + 1 82490 -0.79397887 -0.73567700 -45.491638 -42.151187
    Unten rechts KachelX + 1 48974 KachelY + 1 82490 -0.79393093 -0.73567700 -45.488892 -42.151187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73564146--0.73567700) × R
    3.55400000000561e-05 × 6371000     		dl = 226.425340000357m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73564146--0.73567700) × R
    3.55400000000561e-05 × 6371000     		dr = 226.425340000357m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79397887--0.79393093) × cos(-0.73564146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741400445974082 × 6371000     		do = 226.442779847815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79397887--0.79393093) × cos(-0.73567700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741376595931373 × 6371000     		du = 226.435495430872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73564146)-sin(-0.73567700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741400445974082-0.741376595931373)×R²
    abs(-0.79393093--0.79397887)×2.38500427083288e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38500427083288e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38500427083288e-05×40589641000000     		ar = 51271.5587346965m²