Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48971 / 82459
↖ ↑ ↗
← S 42.088032°
W 45.497131°		 ← 226.61 m → S 42.088032°
W 45.494385°		 →
↑
226.68 m
↓
↑
226.68 m
↓
S 42.090070°
W 45.497131°		 ← 226.61 m →
51 368 m²		 S 42.090070°
W 45.494385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373622894287109 y=0.629116058349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373622894287109 × 217)
    floor (0.373622894287109 × 131072)
    floor (48971.5)     		tx = 48971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629116058349609 × 217)
    floor (0.629116058349609 × 131072)
    floor (82459.5)     		ty = 82459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48971 / 82459 ti = "17/48971/82459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48971/82459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48971 ÷ 217
    48971 ÷ 131072     		x = 0.373619079589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82459 ÷ 217
    82459 ÷ 131072     		y = 0.629112243652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373619079589844 × 2 - 1) × π
    -0.252761840820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.79407474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629112243652344 × 2 - 1) × π
    -0.258224487304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.81123615227021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79407474} λ = -0.79407474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81123615227021))-π/2
    2×atan(0.444308493662125)-π/2
    2×0.41811079794036-π/2
    0.83622159588072-1.57079632675     		φ = -0.73457473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79407474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.497131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73457473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.088032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48971 KachelY 82459 -0.79407474 -0.73457473 -45.497131 -42.088032
    Oben rechts KachelX + 1 48972 KachelY 82459 -0.79402681 -0.73457473 -45.494385 -42.088032
    Unten links KachelX 48971 KachelY + 1 82460 -0.79407474 -0.73461031 -45.497131 -42.090070
    Unten rechts KachelX + 1 48972 KachelY + 1 82460 -0.79402681 -0.73461031 -45.494385 -42.090070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73457473--0.73461031) × R
    3.5580000000035e-05 × 6371000     		dl = 226.680180000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73457473--0.73461031) × R
    3.5580000000035e-05 × 6371000     		dr = 226.680180000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79407474--0.79402681) × cos(-0.73457473) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.742115866911669 × 6371000     		do = 226.614007615496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79407474--0.79402681) × cos(-0.73461031) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.742092018177818 × 6371000     		du = 226.606725117714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73457473)-sin(-0.73461031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742115866911669-0.742092018177818)×R²
    abs(-0.79402681--0.79407474)×2.3848733850973e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3848733850973e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3848733850973e-05×40589641000000     		ar = 51368.0786431611m²