Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48971 / 82225
↖ ↑ ↗
← S 41.609282°
W 45.497131°		 ← 228.32 m → S 41.609282°
W 45.494385°		 →
↑
228.34 m
↓
↑
228.34 m
↓
S 41.611335°
W 45.497131°		 ← 228.31 m →
52 132 m²		 S 41.611335°
W 45.494385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373622894287109 y=0.627330780029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373622894287109 × 217)
    floor (0.373622894287109 × 131072)
    floor (48971.5)     		tx = 48971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627330780029297 × 217)
    floor (0.627330780029297 × 131072)
    floor (82225.5)     		ty = 82225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48971 / 82225 ti = "17/48971/82225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48971/82225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48971 ÷ 217
    48971 ÷ 131072     		x = 0.373619079589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82225 ÷ 217
    82225 ÷ 131072     		y = 0.627326965332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373619079589844 × 2 - 1) × π
    -0.252761840820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.79407474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627326965332031 × 2 - 1) × π
    -0.254653930664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.800018917759117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79407474} λ = -0.79407474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800018917759117))-π/2
    2×atan(0.449320463900517)-π/2
    2×0.422288679667633-π/2
    0.844577359335267-1.57079632675     		φ = -0.72621897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79407474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.497131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72621897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.609282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48971 KachelY 82225 -0.79407474 -0.72621897 -45.497131 -41.609282
    Oben rechts KachelX + 1 48972 KachelY 82225 -0.79402681 -0.72621897 -45.494385 -41.609282
    Unten links KachelX 48971 KachelY + 1 82226 -0.79407474 -0.72625481 -45.497131 -41.611335
    Unten rechts KachelX + 1 48972 KachelY + 1 82226 -0.79402681 -0.72625481 -45.494385 -41.611335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72621897--0.72625481) × R
    3.58400000000092e-05 × 6371000     		dl = 228.336640000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72621897--0.72625481) × R
    3.58400000000092e-05 × 6371000     		dr = 228.336640000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79407474--0.79402681) × cos(-0.72621897) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.747690523862772 × 6371000     		do = 228.316296178639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79407474--0.79402681) × cos(-0.72625481) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.747666723925615 × 6371000     		du = 228.309028581515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72621897)-sin(-0.72625481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747690523862772-0.747666723925615)×R²
    abs(-0.79402681--0.79407474)×2.37999371573983e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37999371573983e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37999371573983e-05×40589641000000     		ar = 52132.1462028739m²