Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48971 / 50518
↖ ↑ ↗
← S 69.329957°
E 89.005737°		 ← 215.60 m → S 69.329957°
E 89.011230°		 →
↑
215.59 m
↓
↑
215.59 m
↓
S 69.331896°
E 89.005737°		 ← 215.58 m →
46 480 m²		 S 69.331896°
E 89.011230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747245788574219 y=0.770851135253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747245788574219 × 216)
    floor (0.747245788574219 × 65536)
    floor (48971.5)     		tx = 48971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770851135253906 × 216)
    floor (0.770851135253906 × 65536)
    floor (50518.5)     		ty = 50518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48971 / 50518 ti = "16/48971/50518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48971/50518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48971 ÷ 216
    48971 ÷ 65536     		x = 0.747238159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50518 ÷ 216
    50518 ÷ 65536     		y = 0.770843505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747238159179688 × 2 - 1) × π
    0.494476318359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55344317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770843505859375 × 2 - 1) × π
    -0.54168701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70175993651199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55344317} λ = 1.55344317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70175993651199))-π/2
    2×atan(0.182362295402544)-π/2
    2×0.180380151259198-π/2
    0.360760302518397-1.57079632675     		φ = -1.21003602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55344317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.005737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21003602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.329957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48971 KachelY 50518 1.55344317 -1.21003602 89.005737 -69.329957
    Oben rechts KachelX + 1 48972 KachelY 50518 1.55353904 -1.21003602 89.011230 -69.329957
    Unten links KachelX 48971 KachelY + 1 50519 1.55344317 -1.21006986 89.005737 -69.331896
    Unten rechts KachelX + 1 48972 KachelY + 1 50519 1.55353904 -1.21006986 89.011230 -69.331896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21003602--1.21006986) × R
    3.38399999999517e-05 × 6371000     		dl = 215.594639999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21003602--1.21006986) × R
    3.38399999999517e-05 × 6371000     		dr = 215.594639999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55344317-1.55353904) × cos(-1.21003602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352985700101951 × 6371000     		do = 215.599348607155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55344317-1.55353904) × cos(-1.21006986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352954038224074 × 6371000     		du = 215.580009919372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21003602)-sin(-1.21006986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352985700101951-0.352954038224074)×R²
    abs(1.55353904-1.55344317)×3.16618778772315e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16618778772315e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16618778772315e-05×40589641000000     		ar = 46479.9792927029m²