Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48970 / 82462
↖ ↑ ↗
← S 42.094146°
W 45.499878°		 ← 226.64 m → S 42.094146°
W 45.497131°		 →
↑
226.62 m
↓
↑
226.62 m
↓
S 42.096184°
W 45.499878°		 ← 226.63 m →
51 359 m²		 S 42.096184°
W 45.497131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373615264892578 y=0.629138946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373615264892578 × 217)
    floor (0.373615264892578 × 131072)
    floor (48970.5)     		tx = 48970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629138946533203 × 217)
    floor (0.629138946533203 × 131072)
    floor (82462.5)     		ty = 82462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48970 / 82462 ti = "17/48970/82462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48970/82462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48970 ÷ 217
    48970 ÷ 131072     		x = 0.373611450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82462 ÷ 217
    82462 ÷ 131072     		y = 0.629135131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373611450195312 × 2 - 1) × π
    -0.252777099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79412268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629135131835938 × 2 - 1) × π
    -0.258270263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.81137996296907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79412268} λ = -0.79412268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81137996296907))-π/2
    2×atan(0.444244601941408)-π/2
    2×0.418057438411541-π/2
    0.836114876823081-1.57079632675     		φ = -0.73468145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79412268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.499878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73468145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.094146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48970 KachelY 82462 -0.79412268 -0.73468145 -45.499878 -42.094146
    Oben rechts KachelX + 1 48971 KachelY 82462 -0.79407474 -0.73468145 -45.497131 -42.094146
    Unten links KachelX 48970 KachelY + 1 82463 -0.79412268 -0.73471702 -45.499878 -42.096184
    Unten rechts KachelX + 1 48971 KachelY + 1 82463 -0.79407474 -0.73471702 -45.497131 -42.096184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73468145--0.73471702) × R
    3.55700000000958e-05 × 6371000     		dl = 226.61647000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73468145--0.73471702) × R
    3.55700000000958e-05 × 6371000     		dr = 226.61647000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79412268--0.79407474) × cos(-0.73468145) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.742044331298839 × 6371000     		do = 226.639438999605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79412268--0.79407474) × cos(-0.73471702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.742020486451055 × 6371000     		du = 226.632156169325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73468145)-sin(-0.73471702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742044331298839-0.742020486451055)×R²
    abs(-0.79407474--0.79412268)×2.38448477841713e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38448477841713e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38448477841713e-05×40589641000000     		ar = 51359.4044296821m²