Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4897 / 2659
↖ ↑ ↗
← N 81.768926°
W126.199951°		 ← 174.89 m → N 81.768926°
W126.188965°		 →
↑
174.88 m
↓
↑
174.88 m
↓
N 81.767354°
W126.199951°		 ← 174.92 m →
30 588 m²		 N 81.767354°
W126.188965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.149459838867188 y=0.0811614990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.149459838867188 × 215)
    floor (0.149459838867188 × 32768)
    floor (4897.5)     		tx = 4897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0811614990234375 × 215)
    floor (0.0811614990234375 × 32768)
    floor (2659.5)     		ty = 2659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4897 / 2659 ti = "15/4897/2659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4897/2659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4897 ÷ 215
    4897 ÷ 32768     		x = 0.149444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2659 ÷ 215
    2659 ÷ 32768     		y = 0.081146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.149444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.70111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.20260466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.081146240234375 × 2 - 1) × π
    0.83770751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.63173578914108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20260466} λ = -2.20260466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.63173578914108))-π/2
    2×atan(13.8978727539544)-π/2
    2×1.49896665961337-π/2
    2.99793331922674-1.57079632675     		φ = 1.42713699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20260466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.199951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42713699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.768926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4897 KachelY 2659 -2.20260466 1.42713699 -126.199951 81.768926
    Oben rechts KachelX + 1 4898 KachelY 2659 -2.20241292 1.42713699 -126.188965 81.768926
    Unten links KachelX 4897 KachelY + 1 2660 -2.20260466 1.42710954 -126.199951 81.767354
    Unten rechts KachelX + 1 4898 KachelY + 1 2660 -2.20241292 1.42710954 -126.188965 81.767354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42713699-1.42710954) × R
    2.74499999999289e-05 × 6371000     		dl = 174.883949999547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42713699-1.42710954) × R
    2.74499999999289e-05 × 6371000     		dr = 174.883949999547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20260466--2.20241292) × cos(1.42713699) × R
    0.000191739999999996 × 0.143165706094964 × 6371000     		do = 174.887724732433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20260466--2.20241292) × cos(1.42710954) × R
    0.000191739999999996 × 0.143192873271223 × 6371000     		du = 174.920911490441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42713699)-sin(1.42710954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143165706094964-0.143192873271223)×R²
    abs(-2.20241292--2.20260466)×2.71671762586412e-05×R²
    0.000191739999999996×2.71671762586412e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.71671762586412e-05×40589641000000     		ar = 30587.9580251552m²