Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48968 / 81461
↖ ↑ ↗
← S 40.021305°
W 45.505371°		 ← 233.85 m → S 40.021305°
W 45.502625°		 →
↑
233.88 m
↓
↑
233.88 m
↓
S 40.023408°
W 45.505371°		 ← 233.84 m →
54 691 m²		 S 40.023408°
W 45.502625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373600006103516 y=0.621501922607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373600006103516 × 217)
    floor (0.373600006103516 × 131072)
    floor (48968.5)     		tx = 48968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621501922607422 × 217)
    floor (0.621501922607422 × 131072)
    floor (81461.5)     		ty = 81461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48968 / 81461 ti = "17/48968/81461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48968/81461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48968 ÷ 217
    48968 ÷ 131072     		x = 0.37359619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81461 ÷ 217
    81461 ÷ 131072     		y = 0.621498107910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37359619140625 × 2 - 1) × π
    -0.2528076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79421855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621498107910156 × 2 - 1) × π
    -0.242996215820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.763395126449394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79421855} λ = -0.79421855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.763395126449394))-π/2
    2×atan(0.466081332674525)-π/2
    2×0.436146394536344-π/2
    0.872292789072687-1.57079632675     		φ = -0.69850354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79421855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.505371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69850354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.021305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48968 KachelY 81461 -0.79421855 -0.69850354 -45.505371 -40.021305
    Oben rechts KachelX + 1 48969 KachelY 81461 -0.79417062 -0.69850354 -45.502625 -40.021305
    Unten links KachelX 48968 KachelY + 1 81462 -0.79421855 -0.69854025 -45.505371 -40.023408
    Unten rechts KachelX + 1 48969 KachelY + 1 81462 -0.79417062 -0.69854025 -45.502625 -40.023408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69850354--0.69854025) × R
    3.67099999999398e-05 × 6371000     		dl = 233.879409999617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69850354--0.69854025) × R
    3.67099999999398e-05 × 6371000     		dr = 233.879409999617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79421855--0.79417062) × cos(-0.69850354) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.765805376534138 × 6371000     		do = 233.84788436298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79421855--0.79417062) × cos(-0.69854025) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.765781768829941 × 6371000     		du = 233.840675466503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69850354)-sin(-0.69854025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765805376534138-0.765781768829941)×R²
    abs(-0.79417062--0.79421855)×2.36077041966265e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.36077041966265e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.36077041966265e-05×40589641000000     		ar = 54691.3622245399m²