Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48968 / 50762
↖ ↑ ↗
← S 69.797930°
E 88.989258°		 ← 210.92 m → S 69.797930°
E 88.994751°		 →
↑
210.94 m
↓
↑
210.94 m
↓
S 69.799827°
E 88.989258°		 ← 210.91 m →
44 491 m²		 S 69.799827°
E 88.994751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747200012207031 y=0.774574279785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747200012207031 × 216)
    floor (0.747200012207031 × 65536)
    floor (48968.5)     		tx = 48968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774574279785156 × 216)
    floor (0.774574279785156 × 65536)
    floor (50762.5)     		ty = 50762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48968 / 50762 ti = "16/48968/50762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48968/50762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48968 ÷ 216
    48968 ÷ 65536     		x = 0.7471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50762 ÷ 216
    50762 ÷ 65536     		y = 0.774566650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7471923828125 × 2 - 1) × π
    0.494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55315555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.54913330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72515314352658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55315555} λ = 1.55315555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72515314352658))-π/2
    2×atan(0.178145767812643)-π/2
    2×0.176296318863507-π/2
    0.352592637727013-1.57079632675     		φ = -1.21820369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55315555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.989258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21820369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.797930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48968 KachelY 50762 1.55315555 -1.21820369 88.989258 -69.797930
    Oben rechts KachelX + 1 48969 KachelY 50762 1.55325142 -1.21820369 88.994751 -69.797930
    Unten links KachelX 48968 KachelY + 1 50763 1.55315555 -1.21823680 88.989258 -69.799827
    Unten rechts KachelX + 1 48969 KachelY + 1 50763 1.55325142 -1.21823680 88.994751 -69.799827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21820369--1.21823680) × R
    3.31099999999473e-05 × 6371000     		dl = 210.943809999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21820369--1.21823680) × R
    3.31099999999473e-05 × 6371000     		dr = 210.943809999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55315555-1.55325142) × cos(-1.21820369) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34533210454779 × 6371000     		do = 210.924626046147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55315555-1.55325142) × cos(-1.21823680) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345301031267587 × 6371000     		du = 210.905646866625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21820369)-sin(-1.21823680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34533210454779-0.345301031267587)×R²
    abs(1.55325142-1.55315555)×3.10732802027425e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10732802027425e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10732802027425e-05×40589641000000     		ar = 44491.2424750134m²