Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48967 / 81480
↖ ↑ ↗
← S 40.061257°
W 45.508118°		 ← 233.76 m → S 40.061257°
W 45.505371°		 →
↑
233.75 m
↓
↑
233.75 m
↓
S 40.063359°
W 45.508118°		 ← 233.75 m →
54 641 m²		 S 40.063359°
W 45.505371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373592376708984 y=0.621646881103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373592376708984 × 217)
    floor (0.373592376708984 × 131072)
    floor (48967.5)     		tx = 48967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621646881103516 × 217)
    floor (0.621646881103516 × 131072)
    floor (81480.5)     		ty = 81480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48967 / 81480 ti = "17/48967/81480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48967/81480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48967 ÷ 217
    48967 ÷ 131072     		x = 0.373588562011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81480 ÷ 217
    81480 ÷ 131072     		y = 0.62164306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373588562011719 × 2 - 1) × π
    -0.252822875976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.79426649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62164306640625 × 2 - 1) × π
    -0.2432861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.764305927542175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79426649} λ = -0.79426649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.764305927542175))-π/2
    2×atan(0.465657018549617)-π/2
    2×0.435797748489928-π/2
    0.871595496979856-1.57079632675     		φ = -0.69920083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79426649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.508118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69920083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.061257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48967 KachelY 81480 -0.79426649 -0.69920083 -45.508118 -40.061257
    Oben rechts KachelX + 1 48968 KachelY 81480 -0.79421855 -0.69920083 -45.505371 -40.061257
    Unten links KachelX 48967 KachelY + 1 81481 -0.79426649 -0.69923752 -45.508118 -40.063359
    Unten rechts KachelX + 1 48968 KachelY + 1 81481 -0.79421855 -0.69923752 -45.505371 -40.063359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69920083--0.69923752) × R
    3.66899999999504e-05 × 6371000     		dl = 233.751989999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69920083--0.69923752) × R
    3.66899999999504e-05 × 6371000     		dr = 233.751989999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79426649--0.79421855) × cos(-0.69920083) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.765356782436901 × 6371000     		do = 233.759661640197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79426649--0.79421855) × cos(-0.69923752) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.765333168008718 × 6371000     		du = 233.752449185995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69920083)-sin(-0.69923752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765356782436901-0.765333168008718)×R²
    abs(-0.79421855--0.79426649)×2.36144281823281e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.36144281823281e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.36144281823281e-05×40589641000000     		ar = 54640.9431335212m²