Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48967 / 50763
↖ ↑ ↗
← S 69.799827°
E 88.983764°		 ← 210.93 m → S 69.799827°
E 88.989258°		 →
↑
210.88 m
↓
↑
210.88 m
↓
S 69.801724°
E 88.983764°		 ← 210.91 m →
44 478 m²		 S 69.801724°
E 88.989258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747184753417969 y=0.774589538574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747184753417969 × 216)
    floor (0.747184753417969 × 65536)
    floor (48967.5)     		tx = 48967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774589538574219 × 216)
    floor (0.774589538574219 × 65536)
    floor (50763.5)     		ty = 50763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48967 / 50763 ti = "16/48967/50763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48967/50763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48967 ÷ 216
    48967 ÷ 65536     		x = 0.747177124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50763 ÷ 216
    50763 ÷ 65536     		y = 0.774581909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747177124023438 × 2 - 1) × π
    0.494354248046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55305967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774581909179688 × 2 - 1) × π
    -0.549163818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72524901732582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55305967} λ = 1.55305967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72524901732582))-π/2
    2×atan(0.178128689119776)-π/2
    2×0.17627976545775-π/2
    0.352559530915499-1.57079632675     		φ = -1.21823680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55305967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.983764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21823680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.799827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48967 KachelY 50763 1.55305967 -1.21823680 88.983764 -69.799827
    Oben rechts KachelX + 1 48968 KachelY 50763 1.55315555 -1.21823680 88.989258 -69.799827
    Unten links KachelX 48967 KachelY + 1 50764 1.55305967 -1.21826990 88.983764 -69.801724
    Unten rechts KachelX + 1 48968 KachelY + 1 50764 1.55315555 -1.21826990 88.989258 -69.801724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21823680--1.21826990) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dl = 210.880100000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21823680--1.21826990) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dr = 210.880100000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55305967-1.55315555) × cos(-1.21823680) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.345301031267587 × 6371000     		do = 210.927645995682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55305967-1.55315555) × cos(-1.21826990) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.345269966993875 × 6371000     		du = 210.90867033811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21823680)-sin(-1.21826990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345301031267587-0.345269966993875)×R²
    abs(1.55315555-1.55305967)×3.10642737125777e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.10642737125777e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.10642737125777e-05×40589641000000     		ar = 44478.4422900822m²