Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48966 / 82501
↖ ↑ ↗
← S 42.173582°
W 45.510864°		 ← 226.36 m → S 42.173582°
W 45.508118°		 →
↑
226.36 m
↓
↑
226.36 m
↓
S 42.175618°
W 45.510864°		 ← 226.35 m →
51 237 m²		 S 42.175618°
W 45.508118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373584747314453 y=0.629436492919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373584747314453 × 217)
    floor (0.373584747314453 × 131072)
    floor (48966.5)     		tx = 48966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629436492919922 × 217)
    floor (0.629436492919922 × 131072)
    floor (82501.5)     		ty = 82501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48966 / 82501 ti = "17/48966/82501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48966/82501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48966 ÷ 217
    48966 ÷ 131072     		x = 0.373580932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82501 ÷ 217
    82501 ÷ 131072     		y = 0.629432678222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373580932617188 × 2 - 1) × π
    -0.252838134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79431443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629432678222656 × 2 - 1) × π
    -0.258865356445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.813249502054253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79431443} λ = -0.79431443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813249502054253))-π/2
    2×atan(0.443414845167736)-π/2
    2×0.417364232663412-π/2
    0.834728465326823-1.57079632675     		φ = -0.73606786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79431443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.510864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73606786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.173582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48966 KachelY 82501 -0.79431443 -0.73606786 -45.510864 -42.173582
    Oben rechts KachelX + 1 48967 KachelY 82501 -0.79426649 -0.73606786 -45.508118 -42.173582
    Unten links KachelX 48966 KachelY + 1 82502 -0.79431443 -0.73610339 -45.510864 -42.175618
    Unten rechts KachelX + 1 48967 KachelY + 1 82502 -0.79426649 -0.73610339 -45.508118 -42.175618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73606786--0.73610339) × R
    3.55300000000058e-05 × 6371000     		dl = 226.361630000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73606786--0.73610339) × R
    3.55300000000058e-05 × 6371000     		dr = 226.361630000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79431443--0.79426649) × cos(-0.73606786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741114237374376 × 6371000     		do = 226.355364374456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79431443--0.79426649) × cos(-0.73610339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741090382812698 × 6371000     		du = 226.348078577303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73606786)-sin(-0.73610339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741114237374376-0.741090382812698)×R²
    abs(-0.79426649--0.79431443)×2.38545616784158e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38545616784158e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38545616784158e-05×40589641000000     		ar = 51237.3446318828m²