Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48964 / 50484
↖ ↑ ↗
← S 69.263930°
E 88.967285°		 ← 216.28 m → S 69.263930°
E 88.972779°		 →
↑
216.23 m
↓
↑
216.23 m
↓
S 69.265875°
E 88.967285°		 ← 216.26 m →
46 765 m²		 S 69.265875°
E 88.972779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747138977050781 y=0.770332336425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747138977050781 × 216)
    floor (0.747138977050781 × 65536)
    floor (48964.5)     		tx = 48964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770332336425781 × 216)
    floor (0.770332336425781 × 65536)
    floor (50484.5)     		ty = 50484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48964 / 50484 ti = "16/48964/50484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48964/50484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48964 ÷ 216
    48964 ÷ 65536     		x = 0.74713134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50484 ÷ 216
    50484 ÷ 65536     		y = 0.77032470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74713134765625 × 2 - 1) × π
    0.4942626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55277205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77032470703125 × 2 - 1) × π
    -0.5406494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69850022733783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55277205} λ = 1.55277205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69850022733783))-π/2
    2×atan(0.182957713367362)-π/2
    2×0.180956344701001-π/2
    0.361912689402002-1.57079632675     		φ = -1.20888364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55277205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.967285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20888364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.263930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48964 KachelY 50484 1.55277205 -1.20888364 88.967285 -69.263930
    Oben rechts KachelX + 1 48965 KachelY 50484 1.55286793 -1.20888364 88.972779 -69.263930
    Unten links KachelX 48964 KachelY + 1 50485 1.55277205 -1.20891758 88.967285 -69.265875
    Unten rechts KachelX + 1 48965 KachelY + 1 50485 1.55286793 -1.20891758 88.972779 -69.265875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20888364--1.20891758) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dl = 216.231740000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20888364--1.20891758) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dr = 216.231740000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55277205-1.55286793) × cos(-1.20888364) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.35406366530498 × 6371000     		do = 216.28031396563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55277205-1.55286793) × cos(-1.20891758) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.354031923689394 × 6371000     		du = 216.260924552772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20888364)-sin(-1.20891758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35406366530498-0.354031923689394)×R²
    abs(1.55286793-1.55277205)×3.17416155858896e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.17416155858896e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.17416155858896e-05×40589641000000     		ar = 46764.5723175117m²