Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48963 / 50497
↖ ↑ ↗
← S 69.289200°
E 88.961792°		 ← 216.01 m → S 69.289200°
E 88.967285°		 →
↑
216.04 m
↓
↑
216.04 m
↓
S 69.291143°
E 88.961792°		 ← 215.99 m →
46 664 m²		 S 69.291143°
E 88.967285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747123718261719 y=0.770530700683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747123718261719 × 216)
    floor (0.747123718261719 × 65536)
    floor (48963.5)     		tx = 48963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770530700683594 × 216)
    floor (0.770530700683594 × 65536)
    floor (50497.5)     		ty = 50497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48963 / 50497 ti = "16/48963/50497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48963/50497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48963 ÷ 216
    48963 ÷ 65536     		x = 0.747116088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50497 ÷ 216
    50497 ÷ 65536     		y = 0.770523071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747116088867188 × 2 - 1) × π
    0.494232177734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55267618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770523071289062 × 2 - 1) × π
    -0.541046142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69974658672795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55267618} λ = 1.55267618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69974658672795))-π/2
    2×atan(0.182729824348621)-π/2
    2×0.180735827964194-π/2
    0.361471655928387-1.57079632675     		φ = -1.20932467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55267618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.961792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20932467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.289200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48963 KachelY 50497 1.55267618 -1.20932467 88.961792 -69.289200
    Oben rechts KachelX + 1 48964 KachelY 50497 1.55277205 -1.20932467 88.967285 -69.289200
    Unten links KachelX 48963 KachelY + 1 50498 1.55267618 -1.20935858 88.961792 -69.291143
    Unten rechts KachelX + 1 48964 KachelY + 1 50498 1.55277205 -1.20935858 88.967285 -69.291143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20932467--1.20935858) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dl = 216.040609999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20932467--1.20935858) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dr = 216.040609999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55267618-1.55277205) × cos(-1.20932467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353651170224748 × 6371000     		do = 216.005809619459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55267618-1.55277205) × cos(-1.20935858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353619451374346 × 6371000     		du = 215.986436133555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20932467)-sin(-1.20935858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353651170224748-0.353619451374346)×R²
    abs(1.55277205-1.55267618)×3.1718850402318e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1718850402318e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1718850402318e-05×40589641000000     		ar = 46663.9341484815m²