Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48962 / 50546
↖ ↑ ↗
← S 69.384181°
E 88.956299°		 ← 215.08 m → S 69.384181°
E 88.961792°		 →
↑
215.08 m
↓
↑
215.08 m
↓
S 69.386115°
E 88.956299°		 ← 215.06 m →
46 259 m²		 S 69.386115°
E 88.961792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747108459472656 y=0.771278381347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747108459472656 × 216)
    floor (0.747108459472656 × 65536)
    floor (48962.5)     		tx = 48962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771278381347656 × 216)
    floor (0.771278381347656 × 65536)
    floor (50546.5)     		ty = 50546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48962 / 50546 ti = "16/48962/50546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48962/50546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48962 ÷ 216
    48962 ÷ 65536     		x = 0.747100830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50546 ÷ 216
    50546 ÷ 65536     		y = 0.771270751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747100830078125 × 2 - 1) × π
    0.49420166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55258030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.54254150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70444440289072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55258030} λ = 1.55258030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70444440289072))-π/2
    2×atan(0.181873406448361)-π/2
    2×0.179906956714865-π/2
    0.359813913429729-1.57079632675     		φ = -1.21098241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55258030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.956299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21098241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.384181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48962 KachelY 50546 1.55258030 -1.21098241 88.956299 -69.384181
    Oben rechts KachelX + 1 48963 KachelY 50546 1.55267618 -1.21098241 88.961792 -69.384181
    Unten links KachelX 48962 KachelY + 1 50547 1.55258030 -1.21101617 88.956299 -69.386115
    Unten rechts KachelX + 1 48963 KachelY + 1 50547 1.55267618 -1.21101617 88.961792 -69.386115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21098241--1.21101617) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dl = 215.08495999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21098241--1.21101617) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dr = 215.08495999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55258030-1.55267618) × cos(-1.21098241) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.352100072496406 × 6371000     		do = 215.080850392396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55258030-1.55267618) × cos(-1.21101617) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.352068474206495 × 6371000     		du = 215.061548530238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21098241)-sin(-1.21101617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352100072496406-0.352068474206495)×R²
    abs(1.55267618-1.55258030)×3.15982899114498e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.15982899114498e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.15982899114498e-05×40589641000000     		ar = 46258.5803379661m²