Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48961 / 50627
↖ ↑ ↗
← S 69.540279°
E 88.950806°		 ← 213.50 m → S 69.540279°
E 88.956299°		 →
↑
213.49 m
↓
↑
213.49 m
↓
S 69.542199°
E 88.950806°		 ← 213.48 m →
45 579 m²		 S 69.542199°
E 88.956299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747093200683594 y=0.772514343261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747093200683594 × 216)
    floor (0.747093200683594 × 65536)
    floor (48961.5)     		tx = 48961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772514343261719 × 216)
    floor (0.772514343261719 × 65536)
    floor (50627.5)     		ty = 50627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48961 / 50627 ti = "16/48961/50627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48961/50627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48961 ÷ 216
    48961 ÷ 65536     		x = 0.747085571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50627 ÷ 216
    50627 ÷ 65536     		y = 0.772506713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747085571289062 × 2 - 1) × π
    0.494171142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55248443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772506713867188 × 2 - 1) × π
    -0.545013427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71221018062917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55248443} λ = 1.55248443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71221018062917))-π/2
    2×atan(0.180466487976039)-π/2
    2×0.178544749551111-π/2
    0.357089499102222-1.57079632675     		φ = -1.21370683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55248443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.950806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21370683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.540279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48961 KachelY 50627 1.55248443 -1.21370683 88.950806 -69.540279
    Oben rechts KachelX + 1 48962 KachelY 50627 1.55258030 -1.21370683 88.956299 -69.540279
    Unten links KachelX 48961 KachelY + 1 50628 1.55248443 -1.21374034 88.950806 -69.542199
    Unten rechts KachelX + 1 48962 KachelY + 1 50628 1.55258030 -1.21374034 88.956299 -69.542199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21370683--1.21374034) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dl = 213.492209999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21370683--1.21374034) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dr = 213.492209999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55248443-1.55258030) × cos(-1.21370683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349548814354324 × 6371000     		do = 213.500140825617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55248443-1.55258030) × cos(-1.21374034) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349517418030748 × 6371000     		du = 213.480964335153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21370683)-sin(-1.21374034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349548814354324-0.349517418030748)×R²
    abs(1.55258030-1.55248443)×3.13963235760162e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13963235760162e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13963235760162e-05×40589641000000     		ar = 45578.5698886523m²