Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48960 / 81383
↖ ↑ ↗
← S 39.857046°
W 45.527344°		 ← 234.46 m → S 39.857046°
W 45.524597°		 →
↑
234.45 m
↓
↑
234.45 m
↓
S 39.859155°
W 45.527344°		 ← 234.45 m →
54 969 m²		 S 39.859155°
W 45.524597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373538970947266 y=0.620906829833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373538970947266 × 217)
    floor (0.373538970947266 × 131072)
    floor (48960.5)     		tx = 48960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620906829833984 × 217)
    floor (0.620906829833984 × 131072)
    floor (81383.5)     		ty = 81383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48960 / 81383 ti = "17/48960/81383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48960/81383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48960 ÷ 217
    48960 ÷ 131072     		x = 0.37353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81383 ÷ 217
    81383 ÷ 131072     		y = 0.620903015136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37353515625 × 2 - 1) × π
    -0.2529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79460205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620903015136719 × 2 - 1) × π
    -0.241806030273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.75965604827903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79460205} λ = -0.79460205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75965604827903))-π/2
    2×atan(0.467827309348612)-π/2
    2×0.437579818303853-π/2
    0.875159636607705-1.57079632675     		φ = -0.69563669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79460205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.527344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69563669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.857046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48960 KachelY 81383 -0.79460205 -0.69563669 -45.527344 -39.857046
    Oben rechts KachelX + 1 48961 KachelY 81383 -0.79455411 -0.69563669 -45.524597 -39.857046
    Unten links KachelX 48960 KachelY + 1 81384 -0.79460205 -0.69567349 -45.527344 -39.859155
    Unten rechts KachelX + 1 48961 KachelY + 1 81384 -0.79455411 -0.69567349 -45.524597 -39.859155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69563669--0.69567349) × R
    3.6800000000059e-05 × 6371000     		dl = 234.452800000376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69563669--0.69567349) × R
    3.6800000000059e-05 × 6371000     		dr = 234.452800000376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79460205--0.79455411) × cos(-0.69563669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767645819139565 × 6371000     		do = 234.458792368454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79460205--0.79455411) × cos(-0.69567349) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767622234444739 × 6371000     		du = 234.451588995584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69563669)-sin(-0.69567349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767645819139565-0.767622234444739)×R²
    abs(-0.79455411--0.79460205)×2.35846948256624e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35846948256624e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35846948256624e-05×40589641000000     		ar = 54968.6759360841m²