Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48960 / 50628
↖ ↑ ↗
← S 69.542199°
E 88.945313°		 ← 213.48 m → S 69.542199°
E 88.950806°		 →
↑
213.49 m
↓
↑
213.49 m
↓
S 69.544119°
E 88.945313°		 ← 213.46 m →
45 574 m²		 S 69.544119°
E 88.950806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747077941894531 y=0.772529602050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747077941894531 × 216)
    floor (0.747077941894531 × 65536)
    floor (48960.5)     		tx = 48960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772529602050781 × 216)
    floor (0.772529602050781 × 65536)
    floor (50628.5)     		ty = 50628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48960 / 50628 ti = "16/48960/50628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48960/50628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48960 ÷ 216
    48960 ÷ 65536     		x = 0.7470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50628 ÷ 216
    50628 ÷ 65536     		y = 0.77252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7470703125 × 2 - 1) × π
    0.494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55238856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.5450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71230605442841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55238856} λ = 1.55238856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71230605442841))-π/2
    2×atan(0.18044918679758)-π/2
    2×0.178527994017136-π/2
    0.357055988034273-1.57079632675     		φ = -1.21374034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55238856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.945313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21374034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.542199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48960 KachelY 50628 1.55238856 -1.21374034 88.945313 -69.542199
    Oben rechts KachelX + 1 48961 KachelY 50628 1.55248443 -1.21374034 88.950806 -69.542199
    Unten links KachelX 48960 KachelY + 1 50629 1.55238856 -1.21377385 88.945313 -69.544119
    Unten rechts KachelX + 1 48961 KachelY + 1 50629 1.55248443 -1.21377385 88.950806 -69.544119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21374034--1.21377385) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dl = 213.492209999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21374034--1.21377385) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dr = 213.492209999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55238856-1.55248443) × cos(-1.21374034) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349517418030748 × 6371000     		do = 213.480964335153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55238856-1.55248443) × cos(-1.21377385) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349486021314691 × 6371000     		du = 213.461787604968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21374034)-sin(-1.21377385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349517418030748-0.349486021314691)×R²
    abs(1.55248443-1.55238856)×3.13967160561202e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13967160561202e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13967160561202e-05×40589641000000     		ar = 45574.4758320485m²