Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48960 / 50624
↖ ↑ ↗
← S 69.534518°
E 88.945313°		 ← 213.56 m → S 69.534518°
E 88.950806°		 →
↑
213.56 m
↓
↑
213.56 m
↓
S 69.536438°
E 88.945313°		 ← 213.54 m →
45 604 m²		 S 69.536438°
E 88.950806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747077941894531 y=0.772468566894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747077941894531 × 216)
    floor (0.747077941894531 × 65536)
    floor (48960.5)     		tx = 48960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772468566894531 × 216)
    floor (0.772468566894531 × 65536)
    floor (50624.5)     		ty = 50624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48960 / 50624 ti = "16/48960/50624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48960/50624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48960 ÷ 216
    48960 ÷ 65536     		x = 0.7470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50624 ÷ 216
    50624 ÷ 65536     		y = 0.7724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7470703125 × 2 - 1) × π
    0.494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55238856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7724609375 × 2 - 1) × π
    -0.544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71192255923145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55238856} λ = 1.55238856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71192255923145))-π/2
    2×atan(0.18051840146491)-π/2
    2×0.178595025184392-π/2
    0.357190050368785-1.57079632675     		φ = -1.21360628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55238856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.945313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21360628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.534518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48960 KachelY 50624 1.55238856 -1.21360628 88.945313 -69.534518
    Oben rechts KachelX + 1 48961 KachelY 50624 1.55248443 -1.21360628 88.950806 -69.534518
    Unten links KachelX 48960 KachelY + 1 50625 1.55238856 -1.21363980 88.945313 -69.536438
    Unten rechts KachelX + 1 48961 KachelY + 1 50625 1.55248443 -1.21363980 88.950806 -69.536438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21360628--1.21363980) × R
    3.35199999998981e-05 × 6371000     		dl = 213.555919999351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21360628--1.21363980) × R
    3.35199999998981e-05 × 6371000     		dr = 213.555919999351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55238856-1.55248443) × cos(-1.21360628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349643019707478 × 6371000     		do = 213.557680303192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55238856-1.55248443) × cos(-1.21363980) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349611615192842 × 6371000     		du = 213.538498809729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21360628)-sin(-1.21363980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349643019707478-0.349611615192842)×R²
    abs(1.55248443-1.55238856)×3.14045146369013e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14045146369013e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14045146369013e-05×40589641000000     		ar = 45604.4587335341m²