Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4896 / 4322
↖ ↑ ↗
← N 64.453850°
W 72.421875°		 ← 1 053.63 m → N 64.453850°
W 72.399902°		 →
↑
1 053.83 m
↓
↑
1 053.83 m
↓
N 64.444372°
W 72.421875°		 ← 1 054 m →
1 110 541 m²		 N 64.444372°
W 72.399902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.298858642578125 y=0.263824462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.298858642578125 × 214)
    floor (0.298858642578125 × 16384)
    floor (4896.5)     		tx = 4896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263824462890625 × 214)
    floor (0.263824462890625 × 16384)
    floor (4322.5)     		ty = 4322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4896 / 4322 ti = "14/4896/4322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4896/4322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4896 ÷ 214
    4896 ÷ 16384     		x = 0.298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4322 ÷ 214
    4322 ÷ 16384     		y = 0.2637939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.298828125 × 2 - 1) × π
    -0.40234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.26400017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2637939453125 × 2 - 1) × π
    0.472412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.48412641223694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.26400017} λ = -1.26400017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48412641223694))-π/2
    2×atan(4.41111023718192)-π/2
    2×1.34786410796916-π/2
    2.69572821593831-1.57079632675     		φ = 1.12493189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.26400017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -72.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12493189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.453850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4896 KachelY 4322 -1.26400017 1.12493189 -72.421875 64.453850
    Oben rechts KachelX + 1 4897 KachelY 4322 -1.26361667 1.12493189 -72.399902 64.453850
    Unten links KachelX 4896 KachelY + 1 4323 -1.26400017 1.12476648 -72.421875 64.444372
    Unten rechts KachelX + 1 4897 KachelY + 1 4323 -1.26361667 1.12476648 -72.399902 64.444372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12493189-1.12476648) × R
    0.000165410000000143 × 6371000     		dl = 1053.82711000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12493189-1.12476648) × R
    0.000165410000000143 × 6371000     		dr = 1053.82711000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.26400017--1.26361667) × cos(1.12493189) × R
    0.000383500000000092 × 0.431237969244345 × 6371000     		do = 1053.63445863862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.26400017--1.26361667) × cos(1.12476648) × R
    0.000383500000000092 × 0.431387202568955 × 6371000     		du = 1053.99907721213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12493189)-sin(1.12476648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431237969244345-0.431387202568955)×R²
    abs(-1.26361667--1.26400017)×0.000149233324609976×R²
    0.000383500000000092×0.000149233324609976×6371000²
    0.000383500000000092×0.000149233324609976×40589641000000     		ar = 1110540.6815461m²