Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48959 / 82494
↖ ↑ ↗
← S 42.159332°
W 45.530091°		 ← 226.41 m → S 42.159332°
W 45.527344°		 →
↑
226.36 m
↓
↑
226.36 m
↓
S 42.161368°
W 45.530091°		 ← 226.40 m →
51 249 m²		 S 42.161368°
W 45.527344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373531341552734 y=0.629383087158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373531341552734 × 217)
    floor (0.373531341552734 × 131072)
    floor (48959.5)     		tx = 48959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629383087158203 × 217)
    floor (0.629383087158203 × 131072)
    floor (82494.5)     		ty = 82494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48959 / 82494 ti = "17/48959/82494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48959/82494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48959 ÷ 217
    48959 ÷ 131072     		x = 0.373527526855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82494 ÷ 217
    82494 ÷ 131072     		y = 0.629379272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373527526855469 × 2 - 1) × π
    -0.252944946289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.79464999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629379272460938 × 2 - 1) × π
    -0.258758544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.812913943756912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79464999} λ = -0.79464999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812913943756912))-π/2
    2×atan(0.443563661665105)-π/2
    2×0.417488590185305-π/2
    0.83497718037061-1.57079632675     		φ = -0.73581915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79464999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.530091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73581915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.159332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48959 KachelY 82494 -0.79464999 -0.73581915 -45.530091 -42.159332
    Oben rechts KachelX + 1 48960 KachelY 82494 -0.79460205 -0.73581915 -45.527344 -42.159332
    Unten links KachelX 48959 KachelY + 1 82495 -0.79464999 -0.73585468 -45.530091 -42.161368
    Unten rechts KachelX + 1 48960 KachelY + 1 82495 -0.79460205 -0.73585468 -45.527344 -42.161368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73581915--0.73585468) × R
    3.55300000000058e-05 × 6371000     		dl = 226.361630000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73581915--0.73585468) × R
    3.55300000000058e-05 × 6371000     		dr = 226.361630000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79464999--0.79460205) × cos(-0.73581915) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.741281193108522 × 6371000     		do = 226.406356953629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79464999--0.79460205) × cos(-0.73585468) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.741257345096455 × 6371000     		du = 226.399073156896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73581915)-sin(-0.73585468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741281193108522-0.741257345096455)×R²
    abs(-0.79460205--0.79464999)×2.3848012066896e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3848012066896e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3848012066896e-05×40589641000000     		ar = 51248.8876217055m²