Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48958 / 51146
↖ ↑ ↗
← S 70.513906°
E 88.934326°		 ← 203.75 m → S 70.513906°
E 88.939819°		 →
↑
203.74 m
↓
↑
203.74 m
↓
S 70.515738°
E 88.934326°		 ← 203.73 m →
41 510 m²		 S 70.515738°
E 88.939819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747047424316406 y=0.780433654785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747047424316406 × 216)
    floor (0.747047424316406 × 65536)
    floor (48958.5)     		tx = 48958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780433654785156 × 216)
    floor (0.780433654785156 × 65536)
    floor (51146.5)     		ty = 51146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48958 / 51146 ti = "16/48958/51146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48958/51146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48958 ÷ 216
    48958 ÷ 65536     		x = 0.747039794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51146 ÷ 216
    51146 ÷ 65536     		y = 0.780426025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747039794921875 × 2 - 1) × π
    0.49407958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55219681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780426025390625 × 2 - 1) × π
    -0.56085205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76196868243478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55219681} λ = 1.55219681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76196868243478))-π/2
    2×atan(0.171706495301015)-π/2
    2×0.170048250953692-π/2
    0.340096501907385-1.57079632675     		φ = -1.23069982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55219681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.934326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23069982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.513906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48958 KachelY 51146 1.55219681 -1.23069982 88.934326 -70.513906
    Oben rechts KachelX + 1 48959 KachelY 51146 1.55229268 -1.23069982 88.939819 -70.513906
    Unten links KachelX 48958 KachelY + 1 51147 1.55219681 -1.23073180 88.934326 -70.515738
    Unten rechts KachelX + 1 48959 KachelY + 1 51147 1.55229268 -1.23073180 88.939819 -70.515738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23069982--1.23073180) × R
    3.19799999999315e-05 × 6371000     		dl = 203.744579999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23069982--1.23073180) × R
    3.19799999999315e-05 × 6371000     		dr = 203.744579999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55219681-1.55229268) × cos(-1.23069982) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333578072818841 × 6371000     		do = 203.745407217913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55219681-1.55229268) × cos(-1.23073180) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333547924383441 × 6371000     		du = 203.726992922286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23069982)-sin(-1.23073180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333578072818841-0.333547924383441)×R²
    abs(1.55229268-1.55219681)×3.01484353995574e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01484353995574e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01484353995574e-05×40589641000000     		ar = 41510.1465174259m²