Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48956 / 50516
↖ ↑ ↗
← S 69.326079°
E 88.923340°		 ← 215.66 m → S 69.326079°
E 88.928833°		 →
↑
215.66 m
↓
↑
215.66 m
↓
S 69.328018°
E 88.923340°		 ← 215.64 m →
46 507 m²		 S 69.328018°
E 88.928833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747016906738281 y=0.770820617675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747016906738281 × 216)
    floor (0.747016906738281 × 65536)
    floor (48956.5)     		tx = 48956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770820617675781 × 216)
    floor (0.770820617675781 × 65536)
    floor (50516.5)     		ty = 50516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48956 / 50516 ti = "16/48956/50516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48956/50516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48956 ÷ 216
    48956 ÷ 65536     		x = 0.74700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50516 ÷ 216
    50516 ÷ 65536     		y = 0.77081298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74700927734375 × 2 - 1) × π
    0.4940185546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55200506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77081298828125 × 2 - 1) × π
    -0.5416259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70156818891351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55200506} λ = 1.55200506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70156818891351))-π/2
    2×atan(0.182397266287425)-π/2
    2×0.180413996374829-π/2
    0.360827992749657-1.57079632675     		φ = -1.20996833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55200506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.923340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20996833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.326079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48956 KachelY 50516 1.55200506 -1.20996833 88.923340 -69.326079
    Oben rechts KachelX + 1 48957 KachelY 50516 1.55210094 -1.20996833 88.928833 -69.326079
    Unten links KachelX 48956 KachelY + 1 50517 1.55200506 -1.21000218 88.923340 -69.328018
    Unten rechts KachelX + 1 48957 KachelY + 1 50517 1.55210094 -1.21000218 88.928833 -69.328018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20996833--1.21000218) × R
    3.3850000000113e-05 × 6371000     		dl = 215.65835000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20996833--1.21000218) × R
    3.3850000000113e-05 × 6371000     		dr = 215.65835000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55200506-1.55210094) × cos(-1.20996833) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.353049032001057 × 6371000     		do = 215.660523710771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55200506-1.55210094) × cos(-1.21000218) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.353017361575608 × 6371000     		du = 215.641177784513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20996833)-sin(-1.21000218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353049032001057-0.353017361575608)×R²
    abs(1.55210094-1.55200506)×3.16704254492706e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.16704254492706e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.16704254492706e-05×40589641000000     		ar = 46506.9066529507m²