Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48954 / 81349
↖ ↑ ↗
← S 39.785324°
W 45.543823°		 ← 234.70 m → S 39.785324°
W 45.541077°		 →
↑
234.64 m
↓
↑
234.64 m
↓
S 39.787434°
W 45.543823°		 ← 234.70 m →
55 071 m²		 S 39.787434°
W 45.541077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373493194580078 y=0.620647430419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373493194580078 × 217)
    floor (0.373493194580078 × 131072)
    floor (48954.5)     		tx = 48954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620647430419922 × 217)
    floor (0.620647430419922 × 131072)
    floor (81349.5)     		ty = 81349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48954 / 81349 ti = "17/48954/81349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48954/81349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48954 ÷ 217
    48954 ÷ 131072     		x = 0.373489379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81349 ÷ 217
    81349 ÷ 131072     		y = 0.620643615722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373489379882812 × 2 - 1) × π
    -0.253021240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79488967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620643615722656 × 2 - 1) × π
    -0.241287231445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.758026193691948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79488967} λ = -0.79488967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.758026193691948))-π/2
    2×atan(0.468590421546745)-π/2
    2×0.438205720500721-π/2
    0.876411441001442-1.57079632675     		φ = -0.69438489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79488967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.543823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69438489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.785324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48954 KachelY 81349 -0.79488967 -0.69438489 -45.543823 -39.785324
    Oben rechts KachelX + 1 48955 KachelY 81349 -0.79484173 -0.69438489 -45.541077 -39.785324
    Unten links KachelX 48954 KachelY + 1 81350 -0.79488967 -0.69442172 -45.543823 -39.787434
    Unten rechts KachelX + 1 48955 KachelY + 1 81350 -0.79484173 -0.69442172 -45.541077 -39.787434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69438489--0.69442172) × R
    3.68299999999877e-05 × 6371000     		dl = 234.643929999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69438489--0.69442172) × R
    3.68299999999877e-05 × 6371000     		dr = 234.643929999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79488967--0.79484173) × cos(-0.69438489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768447463954424 × 6371000     		do = 234.703635329249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79488967--0.79484173) × cos(-0.69442172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768423895441846 × 6371000     		du = 234.696436898855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69438489)-sin(-0.69442172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768447463954424-0.768423895441846)×R²
    abs(-0.79484173--0.79488967)×2.35685125780094e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35685125780094e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35685125780094e-05×40589641000000     		ar = 55070.938851121m²