Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48954 / 51212
↖ ↑ ↗
← S 70.634484°
E 88.912353°		 ← 202.55 m → S 70.634484°
E 88.917847°		 →
↑
202.53 m
↓
↑
202.53 m
↓
S 70.636305°
E 88.912353°		 ← 202.54 m →
41 022 m²		 S 70.636305°
E 88.917847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746986389160156 y=0.781440734863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746986389160156 × 216)
    floor (0.746986389160156 × 65536)
    floor (48954.5)     		tx = 48954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781440734863281 × 216)
    floor (0.781440734863281 × 65536)
    floor (51212.5)     		ty = 51212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48954 / 51212 ti = "16/48954/51212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48954/51212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48954 ÷ 216
    48954 ÷ 65536     		x = 0.746978759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51212 ÷ 216
    51212 ÷ 65536     		y = 0.78143310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746978759765625 × 2 - 1) × π
    0.49395751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55181331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78143310546875 × 2 - 1) × π
    -0.5628662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76829635318463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55181331} λ = 1.55181331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76829635318463))-π/2
    2×atan(0.170623423408103)-π/2
    2×0.168996007203549-π/2
    0.337992014407099-1.57079632675     		φ = -1.23280431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55181331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.912353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23280431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.634484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48954 KachelY 51212 1.55181331 -1.23280431 88.912353 -70.634484
    Oben rechts KachelX + 1 48955 KachelY 51212 1.55190919 -1.23280431 88.917847 -70.634484
    Unten links KachelX 48954 KachelY + 1 51213 1.55181331 -1.23283610 88.912353 -70.636305
    Unten rechts KachelX + 1 48955 KachelY + 1 51213 1.55190919 -1.23283610 88.917847 -70.636305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23280431--1.23283610) × R
    3.1790000000198e-05 × 6371000     		dl = 202.534090001262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23280431--1.23283610) × R
    3.1790000000198e-05 × 6371000     		dr = 202.534090001262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55181331-1.55190919) × cos(-1.23280431) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.331593385568842 × 6371000     		do = 202.554310332805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55181331-1.55190919) × cos(-1.23283610) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.331563394003166 × 6371000     		du = 202.535989940524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23280431)-sin(-1.23283610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331593385568842-0.331563394003166)×R²
    abs(1.55190919-1.55181331)×2.99915656766792e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.99915656766792e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.99915656766792e-05×40589641000000     		ar = 41022.2976705277m²