Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48954 / 51143
↖ ↑ ↗
← S 70.508408°
E 88.912353°		 ← 203.82 m → S 70.508408°
E 88.917847°		 →
↑
203.81 m
↓
↑
203.81 m
↓
S 70.510241°
E 88.912353°		 ← 203.80 m →
41 539 m²		 S 70.510241°
E 88.917847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746986389160156 y=0.780387878417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746986389160156 × 216)
    floor (0.746986389160156 × 65536)
    floor (48954.5)     		tx = 48954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780387878417969 × 216)
    floor (0.780387878417969 × 65536)
    floor (51143.5)     		ty = 51143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48954 / 51143 ti = "16/48954/51143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48954/51143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48954 ÷ 216
    48954 ÷ 65536     		x = 0.746978759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51143 ÷ 216
    51143 ÷ 65536     		y = 0.780380249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746978759765625 × 2 - 1) × π
    0.49395751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55181331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780380249023438 × 2 - 1) × π
    -0.560760498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76168106103706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55181331} λ = 1.55181331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76168106103706))-π/2
    2×atan(0.171755888866174)-π/2
    2×0.170096229553069-π/2
    0.340192459106138-1.57079632675     		φ = -1.23060387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55181331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.912353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23060387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.508408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48954 KachelY 51143 1.55181331 -1.23060387 88.912353 -70.508408
    Oben rechts KachelX + 1 48955 KachelY 51143 1.55190919 -1.23060387 88.917847 -70.508408
    Unten links KachelX 48954 KachelY + 1 51144 1.55181331 -1.23063586 88.912353 -70.510241
    Unten rechts KachelX + 1 48955 KachelY + 1 51144 1.55190919 -1.23063586 88.917847 -70.510241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23060387--1.23063586) × R
    3.19900000000928e-05 × 6371000     		dl = 203.808290000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23060387--1.23063586) × R
    3.19900000000928e-05 × 6371000     		dr = 203.808290000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55181331-1.55190919) × cos(-1.23060387) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.333668525504879 × 6371000     		do = 203.821912633939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55181331-1.55190919) × cos(-1.23063586) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.333638368666138 × 6371000     		du = 203.803491284362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23060387)-sin(-1.23063586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333668525504879-0.333638368666138)×R²
    abs(1.55190919-1.55181331)×3.01568387405804e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.01568387405804e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.01568387405804e-05×40589641000000     		ar = 41538.7182700428m²