Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48953 / 51144
↖ ↑ ↗
← S 70.510241°
E 88.906860°		 ← 203.78 m → S 70.510241°
E 88.912353°		 →
↑
203.74 m
↓
↑
203.74 m
↓
S 70.512073°
E 88.906860°		 ← 203.76 m →
41 518 m²		 S 70.512073°
E 88.912353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746971130371094 y=0.780403137207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746971130371094 × 216)
    floor (0.746971130371094 × 65536)
    floor (48953.5)     		tx = 48953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780403137207031 × 216)
    floor (0.780403137207031 × 65536)
    floor (51144.5)     		ty = 51144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48953 / 51144 ti = "16/48953/51144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48953/51144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48953 ÷ 216
    48953 ÷ 65536     		x = 0.746963500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51144 ÷ 216
    51144 ÷ 65536     		y = 0.7803955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746963500976562 × 2 - 1) × π
    0.493927001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55171744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7803955078125 × 2 - 1) × π
    -0.560791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7617769348363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55171744} λ = 1.55171744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7617769348363))-π/2
    2×atan(0.171739422765913)-π/2
    2×0.170080235241142-π/2
    0.340160470482285-1.57079632675     		φ = -1.23063586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55171744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.906860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23063586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.510241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48953 KachelY 51144 1.55171744 -1.23063586 88.906860 -70.510241
    Oben rechts KachelX + 1 48954 KachelY 51144 1.55181331 -1.23063586 88.912353 -70.510241
    Unten links KachelX 48953 KachelY + 1 51145 1.55171744 -1.23066784 88.906860 -70.512073
    Unten rechts KachelX + 1 48954 KachelY + 1 51145 1.55181331 -1.23066784 88.912353 -70.512073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23063586--1.23066784) × R
    3.19799999999315e-05 × 6371000     		dl = 203.744579999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23063586--1.23066784) × R
    3.19799999999315e-05 × 6371000     		dr = 203.744579999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55171744-1.55181331) × cos(-1.23063586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333638368666138 × 6371000     		do = 203.782235184024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55171744-1.55181331) × cos(-1.23066784) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333608220913083 × 6371000     		du = 203.763821305165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23063586)-sin(-1.23066784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333638368666138-0.333608220913083)×R²
    abs(1.55181331-1.55171744)×3.01477530545435e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01477530545435e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01477530545435e-05×40589641000000     		ar = 41517.6500583328m²