Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48953 / 50781
↖ ↑ ↗
← S 69.833942°
E 88.906860°		 ← 210.56 m → S 69.833942°
E 88.912353°		 →
↑
210.56 m
↓
↑
210.56 m
↓
S 69.835835°
E 88.906860°		 ← 210.55 m →
44 335 m²		 S 69.835835°
E 88.912353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746971130371094 y=0.774864196777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746971130371094 × 216)
    floor (0.746971130371094 × 65536)
    floor (48953.5)     		tx = 48953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774864196777344 × 216)
    floor (0.774864196777344 × 65536)
    floor (50781.5)     		ty = 50781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48953 / 50781 ti = "16/48953/50781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48953/50781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48953 ÷ 216
    48953 ÷ 65536     		x = 0.746963500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50781 ÷ 216
    50781 ÷ 65536     		y = 0.774856567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746963500976562 × 2 - 1) × π
    0.493927001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55171744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774856567382812 × 2 - 1) × π
    -0.549713134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72697474571214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55171744} λ = 1.55171744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72697474571214))-π/2
    2×atan(0.177821552477979)-π/2
    2×0.17598205872163-π/2
    0.351964117443259-1.57079632675     		φ = -1.21883221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55171744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.906860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21883221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.833942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48953 KachelY 50781 1.55171744 -1.21883221 88.906860 -69.833942
    Oben rechts KachelX + 1 48954 KachelY 50781 1.55181331 -1.21883221 88.912353 -69.833942
    Unten links KachelX 48953 KachelY + 1 50782 1.55171744 -1.21886526 88.906860 -69.835835
    Unten rechts KachelX + 1 48954 KachelY + 1 50782 1.55181331 -1.21886526 88.912353 -69.835835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21883221--1.21886526) × R
    3.305000000009e-05 × 6371000     		dl = 210.561550000573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21883221--1.21886526) × R
    3.305000000009e-05 × 6371000     		dr = 210.561550000573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55171744-1.55181331) × cos(-1.21883221) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344742182583523 × 6371000     		do = 210.564308925118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55171744-1.55181331) × cos(-1.21886526) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344711158445847 × 6371000     		du = 210.545359761251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21883221)-sin(-1.21886526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344742182583523-0.344711158445847)×R²
    abs(1.55181331-1.55171744)×3.10241376764164e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10241376764164e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10241376764164e-05×40589641000000     		ar = 44334.752283523m²