Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48952 / 50552
↖ ↑ ↗
← S 69.395783°
E 88.901367°		 ← 214.94 m → S 69.395783°
E 88.906860°		 →
↑
214.96 m
↓
↑
214.96 m
↓
S 69.397716°
E 88.901367°		 ← 214.92 m →
46 201 m²		 S 69.397716°
E 88.906860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746955871582031 y=0.771369934082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746955871582031 × 216)
    floor (0.746955871582031 × 65536)
    floor (48952.5)     		tx = 48952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771369934082031 × 216)
    floor (0.771369934082031 × 65536)
    floor (50552.5)     		ty = 50552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48952 / 50552 ti = "16/48952/50552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48952/50552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48952 ÷ 216
    48952 ÷ 65536     		x = 0.7469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50552 ÷ 216
    50552 ÷ 65536     		y = 0.7713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7469482421875 × 2 - 1) × π
    0.493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55162157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.542724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70501964568616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55162157} λ = 1.55162157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70501964568616))-π/2
    2×atan(0.181768815167194)-π/2
    2×0.179805712459157-π/2
    0.359611424918314-1.57079632675     		φ = -1.21118490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55162157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.901367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21118490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.395783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48952 KachelY 50552 1.55162157 -1.21118490 88.901367 -69.395783
    Oben rechts KachelX + 1 48953 KachelY 50552 1.55171744 -1.21118490 88.906860 -69.395783
    Unten links KachelX 48952 KachelY + 1 50553 1.55162157 -1.21121864 88.901367 -69.397716
    Unten rechts KachelX + 1 48953 KachelY + 1 50553 1.55171744 -1.21121864 88.906860 -69.397716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21118490--1.21121864) × R
    3.37400000001153e-05 × 6371000     		dl = 214.957540000735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21118490--1.21121864) × R
    3.37400000001153e-05 × 6371000     		dr = 214.957540000735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55162157-1.55171744) × cos(-1.21118490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351910542261028 × 6371000     		do = 214.9426553471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55162157-1.55171744) × cos(-1.21121864) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351878960285805 × 6371000     		du = 214.923365462881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21118490)-sin(-1.21121864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351910542261028-0.351878960285805)×R²
    abs(1.55171744-1.55162157)×3.15819752235158e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15819752235158e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15819752235158e-05×40589641000000     		ar = 46201.4711855917m²