Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48951 / 50551
↖ ↑ ↗
← S 69.393850°
E 88.895874°		 ← 214.98 m → S 69.393850°
E 88.901367°		 →
↑
214.96 m
↓
↑
214.96 m
↓
S 69.395783°
E 88.895874°		 ← 214.97 m →
46 210 m²		 S 69.395783°
E 88.901367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746940612792969 y=0.771354675292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746940612792969 × 216)
    floor (0.746940612792969 × 65536)
    floor (48951.5)     		tx = 48951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771354675292969 × 216)
    floor (0.771354675292969 × 65536)
    floor (50551.5)     		ty = 50551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48951 / 50551 ti = "16/48951/50551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48951/50551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48951 ÷ 216
    48951 ÷ 65536     		x = 0.746932983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50551 ÷ 216
    50551 ÷ 65536     		y = 0.771347045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746932983398438 × 2 - 1) × π
    0.493865966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55152569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771347045898438 × 2 - 1) × π
    -0.542694091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70492377188692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55152569} λ = 1.55152569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70492377188692))-π/2
    2×atan(0.181786242869504)-π/2
    2×0.179822582716376-π/2
    0.359645165432751-1.57079632675     		φ = -1.21115116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55152569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.895874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21115116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.393850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48951 KachelY 50551 1.55152569 -1.21115116 88.895874 -69.393850
    Oben rechts KachelX + 1 48952 KachelY 50551 1.55162157 -1.21115116 88.901367 -69.393850
    Unten links KachelX 48951 KachelY + 1 50552 1.55152569 -1.21118490 88.895874 -69.395783
    Unten rechts KachelX + 1 48952 KachelY + 1 50552 1.55162157 -1.21118490 88.901367 -69.395783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21115116--1.21118490) × R
    3.37399999998933e-05 × 6371000     		dl = 214.95753999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21115116--1.21118490) × R
    3.37399999998933e-05 × 6371000     		dr = 214.95753999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55152569-1.55162157) × cos(-1.21115116) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.351942123835641 × 6371000     		do = 214.984367219204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55152569-1.55162157) × cos(-1.21118490) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.351910542261028 × 6371000     		du = 214.965075567611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21115116)-sin(-1.21118490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351942123835641-0.351910542261028)×R²
    abs(1.55162157-1.55152569)×3.15815746126935e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.15815746126935e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.15815746126935e-05×40589641000000     		ar = 46210.4372774529m²