Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4895 / 2657
↖ ↑ ↗
← N 81.772072°
W126.221924°		 ← 174.83 m → N 81.772072°
W126.210937°		 →
↑
174.88 m
↓
↑
174.88 m
↓
N 81.770499°
W126.221924°		 ← 174.86 m →
30 578 m²		 N 81.770499°
W126.210937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.149398803710938 y=0.0811004638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.149398803710938 × 215)
    floor (0.149398803710938 × 32768)
    floor (4895.5)     		tx = 4895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0811004638671875 × 215)
    floor (0.0811004638671875 × 32768)
    floor (2657.5)     		ty = 2657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4895 / 2657 ti = "15/4895/2657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4895/2657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4895 ÷ 215
    4895 ÷ 32768     		x = 0.149383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2657 ÷ 215
    2657 ÷ 32768     		y = 0.081085205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.149383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.70123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.20298816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.081085205078125 × 2 - 1) × π
    0.83782958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.63211928433804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20298816} λ = -2.20298816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.63211928433804))-π/2
    2×atan(13.9032035435043)-π/2
    2×1.49899410608431-π/2
    2.99798821216862-1.57079632675     		φ = 1.42719189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20298816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.221924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42719189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.772072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4895 KachelY 2657 -2.20298816 1.42719189 -126.221924 81.772072
    Oben rechts KachelX + 1 4896 KachelY 2657 -2.20279641 1.42719189 -126.210937 81.772072
    Unten links KachelX 4895 KachelY + 1 2658 -2.20298816 1.42716444 -126.221924 81.770499
    Unten rechts KachelX + 1 4896 KachelY + 1 2658 -2.20279641 1.42716444 -126.210937 81.770499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42719189-1.42716444) × R
    2.74499999999289e-05 × 6371000     		dl = 174.883949999547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42719189-1.42716444) × R
    2.74499999999289e-05 × 6371000     		dr = 174.883949999547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20298816--2.20279641) × cos(1.42719189) × R
    0.000191749999999935 × 0.14311137141884 × 6371000     		do = 174.830468446524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20298816--2.20279641) × cos(1.42716444) × R
    0.000191749999999935 × 0.143138538810829 × 6371000     		du = 174.863657198898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42719189)-sin(1.42716444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14311137141884-0.143138538810829)×R²
    abs(-2.20279641--2.20298816)×2.71673919896298e-05×R²
    0.000191749999999935×2.71673919896298e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.71673919896298e-05×40589641000000     		ar = 30577.9449946755m²