Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48949 / 81382
↖ ↑ ↗
← S 39.854938°
W 45.557556°		 ← 234.42 m → S 39.854938°
W 45.554810°		 →
↑
234.45 m
↓
↑
234.45 m
↓
S 39.857046°
W 45.557556°		 ← 234.41 m →
54 959 m²		 S 39.857046°
W 45.554810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373455047607422 y=0.620899200439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373455047607422 × 217)
    floor (0.373455047607422 × 131072)
    floor (48949.5)     		tx = 48949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620899200439453 × 217)
    floor (0.620899200439453 × 131072)
    floor (81382.5)     		ty = 81382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48949 / 81382 ti = "17/48949/81382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48949/81382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48949 ÷ 217
    48949 ÷ 131072     		x = 0.373451232910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81382 ÷ 217
    81382 ÷ 131072     		y = 0.620895385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373451232910156 × 2 - 1) × π
    -0.253097534179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.79512935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620895385742188 × 2 - 1) × π
    -0.241790771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.75960811137941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79512935} λ = -0.79512935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75960811137941))-π/2
    2×atan(0.467849736076909)-π/2
    2×0.437598217866763-π/2
    0.875196435733527-1.57079632675     		φ = -0.69559989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79512935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.557556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69559989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.854938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48949 KachelY 81382 -0.79512935 -0.69559989 -45.557556 -39.854938
    Oben rechts KachelX + 1 48950 KachelY 81382 -0.79508142 -0.69559989 -45.554810 -39.854938
    Unten links KachelX 48949 KachelY + 1 81383 -0.79512935 -0.69563669 -45.557556 -39.857046
    Unten rechts KachelX + 1 48950 KachelY + 1 81383 -0.79508142 -0.69563669 -45.554810 -39.857046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69559989--0.69563669) × R
    3.6799999999948e-05 × 6371000     		dl = 234.452799999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69559989--0.69563669) × R
    3.6799999999948e-05 × 6371000     		dr = 234.452799999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79512935--0.79508142) × cos(-0.69559989) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.767669402794814 × 6371000     		do = 234.417087205913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79512935--0.79508142) × cos(-0.69563669) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.767645819139565 × 6371000     		du = 234.409885653071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69559989)-sin(-0.69563669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767669402794814-0.767645819139565)×R²
    abs(-0.79508142--0.79512935)×2.35836552490154e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.35836552490154e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.35836552490154e-05×40589641000000     		ar = 54958.8982573084m²