Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48948 / 50559
↖ ↑ ↗
← S 69.409311°
E 88.879394°		 ← 214.83 m → S 69.409311°
E 88.884888°		 →
↑
214.83 m
↓
↑
214.83 m
↓
S 69.411243°
E 88.879394°		 ← 214.81 m →
46 150 m²		 S 69.411243°
E 88.884888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746894836425781 y=0.771476745605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746894836425781 × 216)
    floor (0.746894836425781 × 65536)
    floor (48948.5)     		tx = 48948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771476745605469 × 216)
    floor (0.771476745605469 × 65536)
    floor (50559.5)     		ty = 50559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48948 / 50559 ti = "16/48948/50559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48948/50559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48948 ÷ 216
    48948 ÷ 65536     		x = 0.74688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50559 ÷ 216
    50559 ÷ 65536     		y = 0.771469116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74688720703125 × 2 - 1) × π
    0.4937744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55123807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771469116210938 × 2 - 1) × π
    -0.542938232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70569076228084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55123807} λ = 1.55123807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70569076228084))-π/2
    2×atan(0.181646868023893)-π/2
    2×0.179687663040945-π/2
    0.35937532608189-1.57079632675     		φ = -1.21142100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55123807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.879394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21142100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.409311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48948 KachelY 50559 1.55123807 -1.21142100 88.879394 -69.409311
    Oben rechts KachelX + 1 48949 KachelY 50559 1.55133395 -1.21142100 88.884888 -69.409311
    Unten links KachelX 48948 KachelY + 1 50560 1.55123807 -1.21145472 88.879394 -69.411243
    Unten rechts KachelX + 1 48949 KachelY + 1 50560 1.55133395 -1.21145472 88.884888 -69.411243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21142100--1.21145472) × R
    3.37200000000148e-05 × 6371000     		dl = 214.830120000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21142100--1.21145472) × R
    3.37200000000148e-05 × 6371000     		dr = 214.830120000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55123807-1.55133395) × cos(-1.21142100) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.351689534912992 × 6371000     		do = 214.83007290247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55123807-1.55133395) × cos(-1.21145472) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.351657968858022 × 6371000     		du = 214.810790731073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21142100)-sin(-1.21145472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351689534912992-0.351657968858022)×R²
    abs(1.55133395-1.55123807)×3.1566054970511e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.1566054970511e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.1566054970511e-05×40589641000000     		ar = 46149.8991500633m²