Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48946 / 51124
↖ ↑ ↗
← S 70.473553°
E 88.868408°		 ← 204.17 m → S 70.473553°
E 88.873901°		 →
↑
204.19 m
↓
↑
204.19 m
↓
S 70.475389°
E 88.868408°		 ← 204.15 m →
41 688 m²		 S 70.475389°
E 88.873901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746864318847656 y=0.780097961425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746864318847656 × 216)
    floor (0.746864318847656 × 65536)
    floor (48946.5)     		tx = 48946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780097961425781 × 216)
    floor (0.780097961425781 × 65536)
    floor (51124.5)     		ty = 51124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48946 / 51124 ti = "16/48946/51124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48946/51124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48946 ÷ 216
    48946 ÷ 65536     		x = 0.746856689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51124 ÷ 216
    51124 ÷ 65536     		y = 0.78009033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746856689453125 × 2 - 1) × π
    0.49371337890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55104632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78009033203125 × 2 - 1) × π
    -0.5601806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7598594588515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55104632} λ = 1.55104632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7598594588515))-π/2
    2×atan(0.172069044904984)-π/2
    2×0.170400396277846-π/2
    0.340800792555692-1.57079632675     		φ = -1.22999553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55104632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.868408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22999553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.473553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48946 KachelY 51124 1.55104632 -1.22999553 88.868408 -70.473553
    Oben rechts KachelX + 1 48947 KachelY 51124 1.55114220 -1.22999553 88.873901 -70.473553
    Unten links KachelX 48946 KachelY + 1 51125 1.55104632 -1.23002758 88.868408 -70.475389
    Unten rechts KachelX + 1 48947 KachelY + 1 51125 1.55114220 -1.23002758 88.873901 -70.475389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22999553--1.23002758) × R
    3.20499999999502e-05 × 6371000     		dl = 204.190549999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22999553--1.23002758) × R
    3.20499999999502e-05 × 6371000     		dr = 204.190549999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55104632-1.55114220) × cos(-1.22999553) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.334241940046108 × 6371000     		do = 204.172183755102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55104632-1.55114220) × cos(-1.23002758) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.334211733156229 × 6371000     		du = 204.153731831713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22999553)-sin(-1.23002758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334241940046108-0.334211733156229)×R²
    abs(1.55114220-1.55104632)×3.02068898793695e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.02068898793695e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.02068898793695e-05×40589641000000     		ar = 41688.1466448204m²