Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48942 / 81435
↖ ↑ ↗
← S 39.966596°
W 45.576782°		 ← 234.04 m → S 39.966596°
W 45.574036°		 →
↑
234.07 m
↓
↑
234.07 m
↓
S 39.968701°
W 45.576782°		 ← 234.03 m →
54 780 m²		 S 39.968701°
W 45.574036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373401641845703 y=0.621303558349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373401641845703 × 217)
    floor (0.373401641845703 × 131072)
    floor (48942.5)     		tx = 48942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621303558349609 × 217)
    floor (0.621303558349609 × 131072)
    floor (81435.5)     		ty = 81435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48942 / 81435 ti = "17/48942/81435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48942/81435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48942 ÷ 217
    48942 ÷ 131072     		x = 0.373397827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81435 ÷ 217
    81435 ÷ 131072     		y = 0.621299743652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373397827148438 × 2 - 1) × π
    -0.253204345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79546491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621299743652344 × 2 - 1) × π
    -0.242599487304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.762148767059273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79546491} λ = -0.79546491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762148767059273))-π/2
    2×atan(0.466662599678613)-π/2
    2×0.436623820128365-π/2
    0.873247640256731-1.57079632675     		φ = -0.69754869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79546491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.576782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69754869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.966596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48942 KachelY 81435 -0.79546491 -0.69754869 -45.576782 -39.966596
    Oben rechts KachelX + 1 48943 KachelY 81435 -0.79541698 -0.69754869 -45.574036 -39.966596
    Unten links KachelX 48942 KachelY + 1 81436 -0.79546491 -0.69758543 -45.576782 -39.968701
    Unten rechts KachelX + 1 48943 KachelY + 1 81436 -0.79541698 -0.69758543 -45.574036 -39.968701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69754869--0.69758543) × R
    3.67399999999796e-05 × 6371000     		dl = 234.07053999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69754869--0.69758543) × R
    3.67399999999796e-05 × 6371000     		dr = 234.07053999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79546491--0.79541698) × cos(-0.69754869) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.766419065024985 × 6371000     		do = 234.035281526333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79546491--0.79541698) × cos(-0.69758543) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.766395464903488 × 6371000     		du = 234.028074945324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69754869)-sin(-0.69758543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766419065024985-0.766395464903488)×R²
    abs(-0.79541698--0.79546491)×2.36001214972692e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.36001214972692e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.36001214972692e-05×40589641000000     		ar = 54779.9213079861m²