Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48942 / 81430
↖ ↑ ↗
← S 39.956070°
W 45.576782°		 ← 234.07 m → S 39.956070°
W 45.574036°		 →
↑
234.13 m
↓
↑
234.13 m
↓
S 39.958175°
W 45.576782°		 ← 234.06 m →
54 803 m²		 S 39.958175°
W 45.574036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373401641845703 y=0.621265411376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373401641845703 × 217)
    floor (0.373401641845703 × 131072)
    floor (48942.5)     		tx = 48942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621265411376953 × 217)
    floor (0.621265411376953 × 131072)
    floor (81430.5)     		ty = 81430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48942 / 81430 ti = "17/48942/81430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48942/81430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48942 ÷ 217
    48942 ÷ 131072     		x = 0.373397827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81430 ÷ 217
    81430 ÷ 131072     		y = 0.621261596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373397827148438 × 2 - 1) × π
    -0.253204345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79546491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621261596679688 × 2 - 1) × π
    -0.242523193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.761909082561173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79546491} λ = -0.79546491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.761909082561173))-π/2
    2×atan(0.46677446487524)-π/2
    2×0.436715676583472-π/2
    0.873431353166945-1.57079632675     		φ = -0.69736497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79546491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.576782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69736497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.956070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48942 KachelY 81430 -0.79546491 -0.69736497 -45.576782 -39.956070
    Oben rechts KachelX + 1 48943 KachelY 81430 -0.79541698 -0.69736497 -45.574036 -39.956070
    Unten links KachelX 48942 KachelY + 1 81431 -0.79546491 -0.69740172 -45.576782 -39.958175
    Unten rechts KachelX + 1 48943 KachelY + 1 81431 -0.79541698 -0.69740172 -45.574036 -39.958175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69736497--0.69740172) × R
    3.67500000000298e-05 × 6371000     		dl = 234.13425000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69736497--0.69740172) × R
    3.67500000000298e-05 × 6371000     		dr = 234.13425000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79546491--0.79541698) × cos(-0.69736497) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.766537062957832 × 6371000     		do = 234.071313614642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79546491--0.79541698) × cos(-0.69740172) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.766513461587602 × 6371000     		du = 234.064106652318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69736497)-sin(-0.69740172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766537062957832-0.766513461587602)×R²
    abs(-0.79541698--0.79546491)×2.360137022972e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.360137022972e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.360137022972e-05×40589641000000     		ar = 54803.267767519m²