Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48940 / 51097
↖ ↑ ↗
← S 70.423919°
E 88.835449°		 ← 204.67 m → S 70.423919°
E 88.840943°		 →
↑
204.64 m
↓
↑
204.64 m
↓
S 70.425759°
E 88.835449°		 ← 204.65 m →
41 881 m²		 S 70.425759°
E 88.840943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746772766113281 y=0.779685974121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746772766113281 × 216)
    floor (0.746772766113281 × 65536)
    floor (48940.5)     		tx = 48940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779685974121094 × 216)
    floor (0.779685974121094 × 65536)
    floor (51097.5)     		ty = 51097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48940 / 51097 ti = "16/48940/51097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48940/51097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48940 ÷ 216
    48940 ÷ 65536     		x = 0.74676513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51097 ÷ 216
    51097 ÷ 65536     		y = 0.779678344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74676513671875 × 2 - 1) × π
    0.4935302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55047108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779678344726562 × 2 - 1) × π
    -0.559356689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75727086627202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55047108} λ = 1.55047108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75727086627202))-π/2
    2×atan(0.172515038556669)-π/2
    2×0.170833532471211-π/2
    0.341667064942423-1.57079632675     		φ = -1.22912926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55047108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.835449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22912926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.423919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48940 KachelY 51097 1.55047108 -1.22912926 88.835449 -70.423919
    Oben rechts KachelX + 1 48941 KachelY 51097 1.55056696 -1.22912926 88.840943 -70.423919
    Unten links KachelX 48940 KachelY + 1 51098 1.55047108 -1.22916138 88.835449 -70.425759
    Unten rechts KachelX + 1 48941 KachelY + 1 51098 1.55056696 -1.22916138 88.840943 -70.425759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22912926--1.22916138) × R
    3.21200000001909e-05 × 6371000     		dl = 204.636520001216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22912926--1.22916138) × R
    3.21200000001909e-05 × 6371000     		dr = 204.636520001216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55047108-1.55056696) × cos(-1.22912926) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.33505826301266 × 6371000     		do = 204.670835847853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55047108-1.55056696) × cos(-1.22916138) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.335027999459001 × 6371000     		du = 204.652349311309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22912926)-sin(-1.22916138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33505826301266-0.335027999459001)×R²
    abs(1.55056696-1.55047108)×3.0263553659704e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.0263553659704e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.0263553659704e-05×40589641000000     		ar = 41881.2360869509m²