Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48939 / 51228
↖ ↑ ↗
← S 70.663607°
E 88.829956°		 ← 202.24 m → S 70.663607°
E 88.835449°		 →
↑
202.28 m
↓
↑
202.28 m
↓
S 70.665426°
E 88.829956°		 ← 202.22 m →
40 907 m²		 S 70.665426°
E 88.835449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746757507324219 y=0.781684875488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746757507324219 × 216)
    floor (0.746757507324219 × 65536)
    floor (48939.5)     		tx = 48939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781684875488281 × 216)
    floor (0.781684875488281 × 65536)
    floor (51228.5)     		ty = 51228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48939 / 51228 ti = "16/48939/51228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48939/51228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48939 ÷ 216
    48939 ÷ 65536     		x = 0.746749877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51228 ÷ 216
    51228 ÷ 65536     		y = 0.78167724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746749877929688 × 2 - 1) × π
    0.493499755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55037521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78167724609375 × 2 - 1) × π
    -0.5633544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76983033397247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55037521} λ = 1.55037521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76983033397247))-π/2
    2×atan(0.170361890998769)-π/2
    2×0.168741862217444-π/2
    0.337483724434889-1.57079632675     		φ = -1.23331260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55037521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.829956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23331260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.663607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48939 KachelY 51228 1.55037521 -1.23331260 88.829956 -70.663607
    Oben rechts KachelX + 1 48940 KachelY 51228 1.55047108 -1.23331260 88.835449 -70.663607
    Unten links KachelX 48939 KachelY + 1 51229 1.55037521 -1.23334435 88.829956 -70.665426
    Unten rechts KachelX + 1 48940 KachelY + 1 51229 1.55047108 -1.23334435 88.835449 -70.665426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23331260--1.23334435) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dl = 202.279249999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23331260--1.23334435) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dr = 202.279249999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55037521-1.55047108) × cos(-1.23331260) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331113810582282 × 6371000     		do = 202.24026598175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55037521-1.55047108) × cos(-1.23334435) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331083851406711 × 6371000     		du = 202.221967283712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23331260)-sin(-1.23334435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331113810582282-0.331083851406711)×R²
    abs(1.55047108-1.55037521)×2.99591755705819e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99591755705819e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99591755705819e-05×40589641000000     		ar = 40907.1586025915m²