Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48936 / 51096
↖ ↑ ↗
← S 70.422079°
E 88.813477°		 ← 204.67 m → S 70.422079°
E 88.818970°		 →
↑
204.64 m
↓
↑
204.64 m
↓
S 70.423919°
E 88.813477°		 ← 204.65 m →
41 881 m²		 S 70.423919°
E 88.818970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746711730957031 y=0.779670715332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746711730957031 × 216)
    floor (0.746711730957031 × 65536)
    floor (48936.5)     		tx = 48936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779670715332031 × 216)
    floor (0.779670715332031 × 65536)
    floor (51096.5)     		ty = 51096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48936 / 51096 ti = "16/48936/51096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48936/51096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48936 ÷ 216
    48936 ÷ 65536     		x = 0.7467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51096 ÷ 216
    51096 ÷ 65536     		y = 0.7796630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7467041015625 × 2 - 1) × π
    0.493408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55008759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7796630859375 × 2 - 1) × π
    -0.559326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75717499247278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55008759} λ = 1.55008759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75717499247278))-π/2
    2×atan(0.172531579021728)-π/2
    2×0.170849594850909-π/2
    0.341699189701818-1.57079632675     		φ = -1.22909714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55008759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.813477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22909714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.422079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48936 KachelY 51096 1.55008759 -1.22909714 88.813477 -70.422079
    Oben rechts KachelX + 1 48937 KachelY 51096 1.55018346 -1.22909714 88.818970 -70.422079
    Unten links KachelX 48936 KachelY + 1 51097 1.55008759 -1.22912926 88.813477 -70.423919
    Unten rechts KachelX + 1 48937 KachelY + 1 51097 1.55018346 -1.22912926 88.818970 -70.423919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22909714--1.22912926) × R
    3.21199999999688e-05 × 6371000     		dl = 204.636519999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22909714--1.22912926) × R
    3.21199999999688e-05 × 6371000     		dr = 204.636519999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55008759-1.55018346) × cos(-1.22909714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335088526220642 × 6371000     		do = 204.667973682888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55008759-1.55018346) × cos(-1.22912926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33505826301266 × 6371000     		du = 204.649489285572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22909714)-sin(-1.22912926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335088526220642-0.33505826301266)×R²
    abs(1.55018346-1.55008759)×3.02632079817178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02632079817178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02632079817178e-05×40589641000000     		ar = 41880.6506022535m²