Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48935 / 51093
↖ ↑ ↗
← S 70.416556°
E 88.807983°		 ← 204.74 m → S 70.416556°
E 88.813477°		 →
↑
204.70 m
↓
↑
204.70 m
↓
S 70.418397°
E 88.807983°		 ← 204.73 m →
41 909 m²		 S 70.418397°
E 88.813477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746696472167969 y=0.779624938964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746696472167969 × 216)
    floor (0.746696472167969 × 65536)
    floor (48935.5)     		tx = 48935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779624938964844 × 216)
    floor (0.779624938964844 × 65536)
    floor (51093.5)     		ty = 51093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48935 / 51093 ti = "16/48935/51093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48935/51093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48935 ÷ 216
    48935 ÷ 65536     		x = 0.746688842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51093 ÷ 216
    51093 ÷ 65536     		y = 0.779617309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746688842773438 × 2 - 1) × π
    0.493377685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54999171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779617309570312 × 2 - 1) × π
    -0.559234619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75688737107506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54999171} λ = 1.54999171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75688737107506))-π/2
    2×atan(0.172581209932751)-π/2
    2×0.170897790696438-π/2
    0.341795581392877-1.57079632675     		φ = -1.22900075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54999171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.807983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22900075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.416556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48935 KachelY 51093 1.54999171 -1.22900075 88.807983 -70.416556
    Oben rechts KachelX + 1 48936 KachelY 51093 1.55008759 -1.22900075 88.813477 -70.416556
    Unten links KachelX 48935 KachelY + 1 51094 1.54999171 -1.22903288 88.807983 -70.418397
    Unten rechts KachelX + 1 48936 KachelY + 1 51094 1.55008759 -1.22903288 88.813477 -70.418397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22900075--1.22903288) × R
    3.21300000001301e-05 × 6371000     		dl = 204.700230000829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22900075--1.22903288) × R
    3.21300000001301e-05 × 6371000     		dr = 204.700230000829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54999171-1.55008759) × cos(-1.22900075) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.335179342034839 × 6371000     		do = 204.744797147273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54999171-1.55008759) × cos(-1.22903288) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.33514907044275 × 6371000     		du = 204.726305700444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22900075)-sin(-1.22903288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335179342034839-0.33514907044275)×R²
    abs(1.55008759-1.54999171)×3.02715920895147e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.02715920895147e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.02715920895147e-05×40589641000000     		ar = 41909.4144693901m²