Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48933 / 51229
↖ ↑ ↗
← S 70.665426°
E 88.796997°		 ← 202.24 m → S 70.665426°
E 88.802490°		 →
↑
202.22 m
↓
↑
202.22 m
↓
S 70.667245°
E 88.796997°		 ← 202.22 m →
40 895 m²		 S 70.667245°
E 88.802490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746665954589844 y=0.781700134277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746665954589844 × 216)
    floor (0.746665954589844 × 65536)
    floor (48933.5)     		tx = 48933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781700134277344 × 216)
    floor (0.781700134277344 × 65536)
    floor (51229.5)     		ty = 51229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48933 / 51229 ti = "16/48933/51229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48933/51229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48933 ÷ 216
    48933 ÷ 65536     		x = 0.746658325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51229 ÷ 216
    51229 ÷ 65536     		y = 0.781692504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746658325195312 × 2 - 1) × π
    0.493316650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54979996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781692504882812 × 2 - 1) × π
    -0.563385009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76992620777171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54979996} λ = 1.54979996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76992620777171))-π/2
    2×atan(0.170345558539974)-π/2
    2×0.168725990365992-π/2
    0.337451980731985-1.57079632675     		φ = -1.23334435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54979996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.796997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23334435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.665426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48933 KachelY 51229 1.54979996 -1.23334435 88.796997 -70.665426
    Oben rechts KachelX + 1 48934 KachelY 51229 1.54989584 -1.23334435 88.802490 -70.665426
    Unten links KachelX 48933 KachelY + 1 51230 1.54979996 -1.23337609 88.796997 -70.667245
    Unten rechts KachelX + 1 48934 KachelY + 1 51230 1.54989584 -1.23337609 88.802490 -70.667245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23334435--1.23337609) × R
    3.17399999998358e-05 × 6371000     		dl = 202.215539998954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23334435--1.23337609) × R
    3.17399999998358e-05 × 6371000     		dr = 202.215539998954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54979996-1.54989584) × cos(-1.23334435) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.331083851406711 × 6371000     		do = 202.243060635757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54979996-1.54989584) × cos(-1.23337609) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.331053901333506 × 6371000     		du = 202.224765589214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23334435)-sin(-1.23337609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331083851406711-0.331053901333506)×R²
    abs(1.54989584-1.54979996)×2.99500732052205e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.99500732052205e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.99500732052205e-05×40589641000000     		ar = 40894.8399494701m²