Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48931 / 81861
↖ ↑ ↗
← S 40.857448°
W 45.606995°		 ← 231.01 m → S 40.857448°
W 45.604248°		 →
↑
231.01 m
↓
↑
231.01 m
↓
S 40.859525°
W 45.606995°		 ← 231 m →
53 364 m²		 S 40.859525°
W 45.604248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373317718505859 y=0.624553680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373317718505859 × 217)
    floor (0.373317718505859 × 131072)
    floor (48931.5)     		tx = 48931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624553680419922 × 217)
    floor (0.624553680419922 × 131072)
    floor (81861.5)     		ty = 81861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48931 / 81861 ti = "17/48931/81861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48931/81861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48931 ÷ 217
    48931 ÷ 131072     		x = 0.373313903808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81861 ÷ 217
    81861 ÷ 131072     		y = 0.624549865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373313903808594 × 2 - 1) × π
    -0.253372192382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.79599222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624549865722656 × 2 - 1) × π
    -0.249099731445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.782569886297417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79599222} λ = -0.79599222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782569886297417))-π/2
    2×atan(0.457229472411227)-π/2
    2×0.428849668383667-π/2
    0.857699336767334-1.57079632675     		φ = -0.71309699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79599222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.606995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71309699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.857448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48931 KachelY 81861 -0.79599222 -0.71309699 -45.606995 -40.857448
    Oben rechts KachelX + 1 48932 KachelY 81861 -0.79594428 -0.71309699 -45.604248 -40.857448
    Unten links KachelX 48931 KachelY + 1 81862 -0.79599222 -0.71313325 -45.606995 -40.859525
    Unten rechts KachelX + 1 48932 KachelY + 1 81862 -0.79594428 -0.71313325 -45.604248 -40.859525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71309699--0.71313325) × R
    3.62600000000102e-05 × 6371000     		dl = 231.012460000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71309699--0.71313325) × R
    3.62600000000102e-05 × 6371000     		dr = 231.012460000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79599222--0.79594428) × cos(-0.71309699) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.756339519693968 × 6371000     		do = 231.005557494158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79599222--0.79594428) × cos(-0.71313325) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.756315798656051 × 6371000     		du = 230.998312478599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71309699)-sin(-0.71313325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756339519693968-0.756315798656051)×R²
    abs(-0.79594428--0.79599222)×2.37210379162578e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37210379162578e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37210379162578e-05×40589641000000     		ar = 53364.325271905m²