Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48930 / 50806
↖ ↑ ↗
← S 69.881231°
E 88.780517°		 ← 210.11 m → S 69.881231°
E 88.786011°		 →
↑
210.12 m
↓
↑
210.12 m
↓
S 69.883121°
E 88.780517°		 ← 210.09 m →
44 146 m²		 S 69.883121°
E 88.786011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746620178222656 y=0.775245666503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746620178222656 × 216)
    floor (0.746620178222656 × 65536)
    floor (48930.5)     		tx = 48930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775245666503906 × 216)
    floor (0.775245666503906 × 65536)
    floor (50806.5)     		ty = 50806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48930 / 50806 ti = "16/48930/50806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48930/50806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48930 ÷ 216
    48930 ÷ 65536     		x = 0.746612548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50806 ÷ 216
    50806 ÷ 65536     		y = 0.775238037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746612548828125 × 2 - 1) × π
    0.49322509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54951234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775238037109375 × 2 - 1) × π
    -0.55047607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72937159069315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54951234} λ = 1.54951234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72937159069315))-π/2
    2×atan(0.177395852155049)-π/2
    2×0.175569376406371-π/2
    0.351138752812743-1.57079632675     		φ = -1.21965757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54951234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.780517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21965757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.881231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48930 KachelY 50806 1.54951234 -1.21965757 88.780517 -69.881231
    Oben rechts KachelX + 1 48931 KachelY 50806 1.54960822 -1.21965757 88.786011 -69.881231
    Unten links KachelX 48930 KachelY + 1 50807 1.54951234 -1.21969055 88.780517 -69.883121
    Unten rechts KachelX + 1 48931 KachelY + 1 50807 1.54960822 -1.21969055 88.786011 -69.883121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21965757--1.21969055) × R
    3.29799999998492e-05 × 6371000     		dl = 210.11557999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21965757--1.21969055) × R
    3.29799999998492e-05 × 6371000     		dr = 210.11557999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54951234-1.54960822) × cos(-1.21965757) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.343967301954688 × 6371000     		do = 210.112935470977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54951234-1.54960822) × cos(-1.21969055) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.343936334153584 × 6371000     		du = 210.09401874384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21965757)-sin(-1.21969055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343967301954688-0.343936334153584)×R²
    abs(1.54960822-1.54951234)×3.09678011043979e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.09678011043979e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.09678011043979e-05×40589641000000     		ar = 44146.0139563856m²